Du point de vue strictement calculatoire, le seul intérêt d'implémenter l'algèbre des quaternions par des matrices est que c'est une approche générale (on peut le faire pour toute la classe d'algèbres dont je parlais plus haut) et une solution spécialisée pour une algèbre spécifique a intérêt à être meilleure. :)
Le fait d'identifier les quaternions à des transformations linéaires d'un espace de dimension 4 (les transformations naturelles d'au dessus) ouvre plein de questions de géométrie – justement parceque la transformation est naturelle (on n'a pas besoin de faire un choix). Le groupe K des quaternions de norme 1 est une sphère de dimension 3, du coup en voyant les quaternions comme des transformations de l'espace à quatre dimension, on voit K comme un sous-groupe des transformations qui préservent la sphère – groupe orthogonal O_4, est-ce qu'on peut décrire K juste géométriquement, sans parler des quaternions (genre K est le stabilisateur de machin patin couffin)? Quels éléments il manque à K pour engendrer tout O_4? Quelles sont les classes de l'opération de K sur O_4? En regardant l'opération de K sur l'espace tangent à K en 1, on trouve aussi une représentation de K dans O_3, le groupe orthogonal de cet espace tangent, cela arrive aussi avec tout son lot de questions... en bref cette identification est une porte ouverte! :)
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 3.
Du point de vue strictement calculatoire, le seul intérêt d'implémenter l'algèbre des quaternions par des matrices est que c'est une approche générale (on peut le faire pour toute la classe d'algèbres dont je parlais plus haut) et une solution spécialisée pour une algèbre spécifique a intérêt à être meilleure. :)
Le fait d'identifier les quaternions à des transformations linéaires d'un espace de dimension 4 (les transformations naturelles d'au dessus) ouvre plein de questions de géométrie – justement parceque la transformation est naturelle (on n'a pas besoin de faire un choix). Le groupe K des quaternions de norme 1 est une sphère de dimension 3, du coup en voyant les quaternions comme des transformations de l'espace à quatre dimension, on voit K comme un sous-groupe des transformations qui préservent la sphère – groupe orthogonal O_4, est-ce qu'on peut décrire K juste géométriquement, sans parler des quaternions (genre K est le stabilisateur de machin patin couffin)? Quels éléments il manque à K pour engendrer tout O_4? Quelles sont les classes de l'opération de K sur O_4? En regardant l'opération de K sur l'espace tangent à K en 1, on trouve aussi une représentation de K dans O_3, le groupe orthogonal de cet espace tangent, cela arrive aussi avec tout son lot de questions... en bref cette identification est une porte ouverte! :)