Au contraire, je cherchais des infos sur les polynômes avec des complexes ou des quaternions, et je n'ai rien trouvé en ligne.
Ah okay, alors voici quelques pistes:
Une pan important de la théorie sur les polynômes complexes est la théorie des fonctions holomorphes, ce sont les fonctions complexes de la variable complexe qui sont dérivables. Une partie importante de la théorie appliquée aux polynômes vise à comprendre comment les racines dépendent des coefficients, voir par exemple le calcul des résidus, la théorie de Sturm-Liouville, le théorème de Gauss–Lucas ou les théorèmes de Hurwitz. Du point de vue "recherche numérique des racines" c'est l'application de la méthode de Newton qui a fait découvrir les ensembles de Julia et de Mandelbrot. Une autre partie de la théorie complexe est liée au problème de représentation conforme – comment transporter deux parties du plan l'une sur l'autre en respectant les angles, où on essaie parfois de trouver des solutions polynomiales.
Pour les polynômes, complexe ou non, les classes d'algorithmes importants sont ceux déduis de la recherche des bases de Grobner pour un idéal. En gros cela généralise la notion de PGCD d'une famille de polynômes aux cas où tout va mal. C'est surtout intéressant pour les géomètres algébristes et c'est expliqué avec un point de vue tout à fait algorithmique dans le livre de David Eisenbud.
Les quaternions jouent un rôles très important en mathématiques, et surtout en géométrie algébrique, à cause du théorème de Hurwitz (les seules algèbres réelles normées et à division sont les réels, les complexes, les quaternions et les octonions) de la classification des algèbres de Jordan et du carré magique de Freudenthal – encore une fois c'est plutôt du matériel avancé.
puis tout retournait en matrice, car cela faisait moins d'opérations scalaires mathématiques que d'utiliser les quaternions.
En fait on peut représenter les quaternions par des matrices, notamment pour faire des calculs (Tout comme les complexes d'ailleurs.) C'est un cas général pour toutes les algèbres "bien comme il faut" (sur un corps, de dimension finie, intègre, associative) car on peut identifier un élément de l'algèbre à la multiplication par cet élément – qui est linéaire et peut donc être vu comme une matrice.
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 4.
Ah okay, alors voici quelques pistes:
Une pan important de la théorie sur les polynômes complexes est la théorie des fonctions holomorphes, ce sont les fonctions complexes de la variable complexe qui sont dérivables. Une partie importante de la théorie appliquée aux polynômes vise à comprendre comment les racines dépendent des coefficients, voir par exemple le calcul des résidus, la théorie de Sturm-Liouville, le théorème de Gauss–Lucas ou les théorèmes de Hurwitz. Du point de vue "recherche numérique des racines" c'est l'application de la méthode de Newton qui a fait découvrir les ensembles de Julia et de Mandelbrot. Une autre partie de la théorie complexe est liée au problème de représentation conforme – comment transporter deux parties du plan l'une sur l'autre en respectant les angles, où on essaie parfois de trouver des solutions polynomiales.
Pour les polynômes, complexe ou non, les classes d'algorithmes importants sont ceux déduis de la recherche des bases de Grobner pour un idéal. En gros cela généralise la notion de PGCD d'une famille de polynômes aux cas où tout va mal. C'est surtout intéressant pour les géomètres algébristes et c'est expliqué avec un point de vue tout à fait algorithmique dans le livre de David Eisenbud.
Les quaternions jouent un rôles très important en mathématiques, et surtout en géométrie algébrique, à cause du théorème de Hurwitz (les seules algèbres réelles normées et à division sont les réels, les complexes, les quaternions et les octonions) de la classification des algèbres de Jordan et du carré magique de Freudenthal – encore une fois c'est plutôt du matériel avancé.
En fait on peut représenter les quaternions par des matrices, notamment pour faire des calculs (Tout comme les complexes d'ailleurs.) C'est un cas général pour toutes les algèbres "bien comme il faut" (sur un corps, de dimension finie, intègre, associative) car on peut identifier un élément de l'algèbre à la multiplication par cet élément – qui est linéaire et peut donc être vu comme une matrice.