Non, c'est bien ce que j'ai écrit : toute catégorie est un graphe orienté, mais la réciproque est fausse. Une catégorie est un graphe orienté qui doit vérifier un certain nombre d'axiomes; autrement dit, ces axiomes sont des contraintes imposées au graphe et tout graphe qui ne les satisfait pas ne peut représenter une catégorie.
Comme tu évoques la notion d'ensemble, voici un exemple : un modèle de la théorie des ensembles est un graphe orienté qui n'est pas une catégorie. La théorie des ensembles est une théorie axiomatique d'une relation binaire que l'on appelle l'appartenance (notée \in) et une relation binaire peut parfaitement se représenter comme un graphe orienté où l'existence d'une relation entre deux objets est signifiée par la présence d'une arête entre les deux sommets du graphe. Pour qu'un tel graphe puisse représenté une catégorie, il faudrait que la relation soit réflexive et transitive : ce qui n'est pas le cas de la relation d'appartenance, ni de nombreuses autres relations binaires.
En revanche on peut toujours, à partir d'un graphe orienté, engendrer une catégorie en prenant sa fermeture transitive :
fermeture transitive
puis en rajoutant une flèche de chaque sommet vers lui-même.
Pour revenir sur le graphe de l'univers des ensembles, les contraintes imposées par les axiomes sont tels que l'on peut plonger ou encoder n'importe quelle construction mathématique en son sein. La généralité de la notion de catégorie permet de faire la même chose : ce sont deux approches distinctes sur le fondement des mathématiques mais d'égale utilité.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: Pourquoi du théorie des patch c'est bien
Posté par kantien . En réponse au journal Pijul, un nouveau gestionnaire de source. Évalué à 2.
Non, c'est bien ce que j'ai écrit : toute catégorie est un graphe orienté, mais la réciproque est fausse. Une catégorie est un graphe orienté qui doit vérifier un certain nombre d'axiomes; autrement dit, ces axiomes sont des contraintes imposées au graphe et tout graphe qui ne les satisfait pas ne peut représenter une catégorie.
Comme tu évoques la notion d'ensemble, voici un exemple : un modèle de la théorie des ensembles est un graphe orienté qui n'est pas une catégorie. La théorie des ensembles est une théorie axiomatique d'une relation binaire que l'on appelle l'appartenance (notée \in) et une relation binaire peut parfaitement se représenter comme un graphe orienté où l'existence d'une relation entre deux objets est signifiée par la présence d'une arête entre les deux sommets du graphe. Pour qu'un tel graphe puisse représenté une catégorie, il faudrait que la relation soit réflexive et transitive : ce qui n'est pas le cas de la relation d'appartenance, ni de nombreuses autres relations binaires.
En revanche on peut toujours, à partir d'un graphe orienté, engendrer une catégorie en prenant sa fermeture transitive :
fermeture transitive
puis en rajoutant une flèche de chaque sommet vers lui-même.
Pour revenir sur le graphe de l'univers des ensembles, les contraintes imposées par les axiomes sont tels que l'on peut plonger ou encoder n'importe quelle construction mathématique en son sein. La généralité de la notion de catégorie permet de faire la même chose : ce sont deux approches distinctes sur le fondement des mathématiques mais d'égale utilité.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.