Tout comme de nombreux autres commentaires, je voudrais d'abord te féliciter pour la somme de travail effectué et le choix de licence pour ton ouvrage.
Maintenant, je voudrais revenir sur ta question 21 et la preuve d'existence d'un ensemble mesurable de réels qui ne serait pas un borélien. La preuve usuelle pour un tel résultat repose sur un argument de cardinalité : l'ensemble des boréliens a au plus la puissance du continu tandis que celui des ensembles mesurables à la puissance de l'ensemble des parties des réels, ainsi n'ayant pas même cardinalité le premier est nécessairement strictement contenu dans le second.
La preuve sur la cardinalité des ensembles mesurables repose sur l'ensemble triadique de Cantor : c'est un ensemble de mesure nul qui à la puissance du continu, donc tout sous-ensemble de l'ensemble triadique de Cantor est mesurable, d'où la conclusion que la famille des ensembles mesurables contient un ensemble équipotent à l'ensemble des parties de réels. De mémoire, et en y réfléchissant rapidement, je ne crois pas que l'axiome du choix (mais peut être bien l'axiome du choix dénombrable) soit nécessaire pour prouver un tel résultat. Néanmoins l'axiome du choix prouve aussi l'existence d'ensembles non mesurables, mais l'énoncé qui affirme que tout ensemble de réels est mesurable n'est pas contradictoire avec les autres axiomes de ZF (bien qu'un tel univers des ensembles ne puisse satisfaire l'axiome du choix).
Viens à présent la preuve de l'énoncé sur la cardinalité de l'ensemble des boréliens, et l'exercice du TD auquel tu fais référence. Là où l'axiome du choix est nécessaire (en réalité je dirais que seul l'axiome du choix dénombrable, qui permet de prouver qu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, me semble utilisé de prime abord) c'est à la question 2 afin de prouver que la famille construite est une \sigma-algèbre. Cela étant, à la dernière question, il est précisé quand reprenant le même raisonnement et la même construction en utilisant le plus petit ordinal stable par réunion dénombrable, on peut se dispenser d'un tel axiome — ce qui me semble plausible au premier abord.
Pour finir, je voudrais faire quelques remarques sur ton exigence de constructivité en se passant de l'axiome du choix. S'il est vrai que l'axiome en question affirme l'existence d'un ensemble sans expliciter la manière de l'obtenir à partir des autres axiomes et donc des constructions ensemblistes usuelles, il n'en reste pas moins, d'une certaine façon, que c'est l'existence d'ensembles qui mettraient en défaut cet axiome qui est hautement non constructive. En effet, pour montrer que l'axiome du choix n'était pas contradictoire avec les autres axiomes de ZF, Gödel a construit une famille propre d'ensembles en partant de l'ensemble vide (le premier dont on peut prouver l'existence en admettant que ZF est non contradictoire) puis en définissant tout le reste à partir de lui et des opérations ensemblistes usuelles. Et il se trouve que cette famille non seulement satisfait ZF mais également l'axiome du choix et même l'hypothèse généralisée du continu.
Si le sujet t'intéresse, un ouvrage de référence en théorie axiomatique des ensembles est le livre Set Theory de Thomas Jech (pdf de la 3ème édition de 2003). Au chapitre 11 il étudie particulièrement la théorie descriptive des boréliens et des ensembles analytiques (tu y retrouveras la constructions de l'exercice du TD). En langue française, on pourra se référer à l'ouvrage Théorie des ensembles de Jean-Louis Krivine, par exemple.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: Réponses à quelques questions
Posté par kantien . En réponse à la dépêche Le Frido, un livre de mathématique libre pour l’agrégation. Évalué à 1.
Tout comme de nombreux autres commentaires, je voudrais d'abord te féliciter pour la somme de travail effectué et le choix de licence pour ton ouvrage.
Maintenant, je voudrais revenir sur ta question 21 et la preuve d'existence d'un ensemble mesurable de réels qui ne serait pas un borélien. La preuve usuelle pour un tel résultat repose sur un argument de cardinalité : l'ensemble des boréliens a au plus la puissance du continu tandis que celui des ensembles mesurables à la puissance de l'ensemble des parties des réels, ainsi n'ayant pas même cardinalité le premier est nécessairement strictement contenu dans le second.
La preuve sur la cardinalité des ensembles mesurables repose sur l'ensemble triadique de Cantor : c'est un ensemble de mesure nul qui à la puissance du continu, donc tout sous-ensemble de l'ensemble triadique de Cantor est mesurable, d'où la conclusion que la famille des ensembles mesurables contient un ensemble équipotent à l'ensemble des parties de réels. De mémoire, et en y réfléchissant rapidement, je ne crois pas que l'axiome du choix (mais peut être bien l'axiome du choix dénombrable) soit nécessaire pour prouver un tel résultat. Néanmoins l'axiome du choix prouve aussi l'existence d'ensembles non mesurables, mais l'énoncé qui affirme que tout ensemble de réels est mesurable n'est pas contradictoire avec les autres axiomes de ZF (bien qu'un tel univers des ensembles ne puisse satisfaire l'axiome du choix).
Viens à présent la preuve de l'énoncé sur la cardinalité de l'ensemble des boréliens, et l'exercice du TD auquel tu fais référence. Là où l'axiome du choix est nécessaire (en réalité je dirais que seul l'axiome du choix dénombrable, qui permet de prouver qu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, me semble utilisé de prime abord) c'est à la question 2 afin de prouver que la famille construite est une \sigma-algèbre. Cela étant, à la dernière question, il est précisé quand reprenant le même raisonnement et la même construction en utilisant le plus petit ordinal stable par réunion dénombrable, on peut se dispenser d'un tel axiome — ce qui me semble plausible au premier abord.
Pour finir, je voudrais faire quelques remarques sur ton exigence de constructivité en se passant de l'axiome du choix. S'il est vrai que l'axiome en question affirme l'existence d'un ensemble sans expliciter la manière de l'obtenir à partir des autres axiomes et donc des constructions ensemblistes usuelles, il n'en reste pas moins, d'une certaine façon, que c'est l'existence d'ensembles qui mettraient en défaut cet axiome qui est hautement non constructive. En effet, pour montrer que l'axiome du choix n'était pas contradictoire avec les autres axiomes de ZF, Gödel a construit une famille propre d'ensembles en partant de l'ensemble vide (le premier dont on peut prouver l'existence en admettant que ZF est non contradictoire) puis en définissant tout le reste à partir de lui et des opérations ensemblistes usuelles. Et il se trouve que cette famille non seulement satisfait ZF mais également l'axiome du choix et même l'hypothèse généralisée du continu.
Si le sujet t'intéresse, un ouvrage de référence en théorie axiomatique des ensembles est le livre Set Theory de Thomas Jech (pdf de la 3ème édition de 2003). Au chapitre 11 il étudie particulièrement la théorie descriptive des boréliens et des ensembles analytiques (tu y retrouveras la constructions de l'exercice du TD). En langue française, on pourra se référer à l'ouvrage Théorie des ensembles de Jean-Louis Krivine, par exemple.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.