Ça c'est la formule pour les séries de Fourier, mais ça marche même sur un Hilbert séparable (faut avoir une famille B normale et totale) quelconque
Normale, d'accord, mais j'ajouterais orthogonale. Orthonormale quoi. Totale, ça veut dire quoi, génératrice ? Il faut aussi qu'elle soit linéairement indépendante non ? Bref, une base. Une base orthonormale donc.
Si elle n'est pas génératrice, les vecteurs non nuls non couvert ont un produit scalaire nul avec tous les vecteurs de la famille B, donc la somme serait nulle, donc il faut que B soit génératrice.
Si elle n'est pas indépendante, on peut par exemple sans contredire les hypothèse lui ajouter l'opposé d'un de ses vecteurs v, ce qui va complètement fausser la somme, et obtenir ainsi deux normes différentes pour v lui-même. Donc il faut que B soit indépendante.
Si elle n'est pas normale, ben ça va donner une norme unité pour ses propres vecteurs, donc complètement fausse. Il faut donc que B soit normale.
Si elle n'est pas orthogonale, pfiou, il suffit de prendre le cas de la dimension 2 avec une base tordue, ça va aussi être faux. Donc il faut que B soit orthogonale.
À noter que si on a pour seule hypothèse que B est une base, alors on doit pouvoir l'utiliser pour définir une norme. Pas pour calculer une norme déjà définie, mais pour définir une nouvelle norme par exemple.
[^] # Re: ECMAScript
Posté par 🚲 Tanguy Ortolo (site web personnel) . En réponse à la dépêche Firefox 27. Évalué à -1.
Normale, d'accord, mais j'ajouterais orthogonale. Orthonormale quoi. Totale, ça veut dire quoi, génératrice ? Il faut aussi qu'elle soit linéairement indépendante non ? Bref, une base. Une base orthonormale donc.
Si elle n'est pas génératrice, les vecteurs non nuls non couvert ont un produit scalaire nul avec tous les vecteurs de la famille B, donc la somme serait nulle, donc il faut que B soit génératrice.
Si elle n'est pas indépendante, on peut par exemple sans contredire les hypothèse lui ajouter l'opposé d'un de ses vecteurs v, ce qui va complètement fausser la somme, et obtenir ainsi deux normes différentes pour v lui-même. Donc il faut que B soit indépendante.
Si elle n'est pas normale, ben ça va donner une norme unité pour ses propres vecteurs, donc complètement fausse. Il faut donc que B soit normale.
Si elle n'est pas orthogonale, pfiou, il suffit de prendre le cas de la dimension 2 avec une base tordue, ça va aussi être faux. Donc il faut que B soit orthogonale.
À noter que si on a pour seule hypothèse que B est une base, alors on doit pouvoir l'utiliser pour définir une norme. Pas pour calculer une norme déjà définie, mais pour définir une nouvelle norme par exemple.