e進法

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e 進法とは、記数法の底に自然対数の底(ネイピア数 $e$ {\displaystyle e})を使った記数法である。(実用的ではないが)ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を $x$ {\displaystyle x} ( $x>0,x\in \mathbb {R}$ {\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} } )進法で表すとしたとき,
この数一桁を表すのに $x$ {\displaystyle x} 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、 $n$ {\displaystyle n} ( $n$ {\displaystyle n} は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ {\displaystyle N(x)} は,

$N(x)=nx$ {\displaystyle N(x)=nx}

と表せる.
また, $x$ {\displaystyle x} 進法で表された $n$ {\displaystyle n} 桁の数の情報量 $I$ {\displaystyle I} ( $I$ {\displaystyle I} は定数, $I>x$ {\displaystyle I>x} )について,

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$ {\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}

従って, $I$ {\displaystyle I} の情報量を $x$ {\displaystyle x} 進法の $n$ {\displaystyle n} 桁で表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ {\displaystyle N(x)} は,

$N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}$ {\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}

ここで,

${\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}$ {\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}

より, $N(x)$ {\displaystyle N(x)} を最小にする $x$ {\displaystyle x} の値を求めるには, $N(x)$ {\displaystyle N(x)} の微分係数が0となるような $x$ {\displaystyle x} の値を求めれば良い.

${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$ {\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}

$\ln x=1$ {\displaystyle \ln x=1} のとき, $N^{\prime }(x)=0$ {\displaystyle N^{\prime }(x)=0} であるので,

$x=e$ {\displaystyle x=e}

以上より最も高効率な記数法は $e$ {\displaystyle e} 進法である.

参考文献

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伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

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関連項目