計量テンソル (一般相対論)

一般相対性理論における計量テンソル(けいりょうテンソル、英: metric tensor)とは、時空の局所的な曲がり具合、重力ポテンシャルを表すテンソルである。計量テンソルは単にメトリックと言う。

計量テンソルは一般的にg_μνと表される。計量テンソルは時間の関数なので、特殊相対論で表されていた計量テンソル${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\0円&1&0&0\0円&0&1&0\0円&0&0&1\end{bmatrix}}}${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\0円&1&0&0\0円&0&1&0\0円&0&0&1\end{bmatrix}}}ではなく、一般化し、${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}と表す^[1] 。これは、空間に重力を適用するとき、0と1だけでは、空間の曲率が表せないため、一般化して行列の中がテンソルとなっている^[1] 。一般化した計量テンソルは対象テンソルなので、01と10や12と21などμとνを入れ替えても同じな成分は無視してもよい^[1] 。そして計量テンソルは単位テンソルの添え字を上げ下げしたものであり、同様に計量テンソルも右にあるテンソルやベクトルの添え字を上げる役割を持つ。^[2] 例として、A_μ = g_μνA^μと表す^[2] 。

性質として、計量テンソルは二階微分するとリーマン曲率テンソルになる^[1] 。

• ランダウ、リフシッツ「場の古典論」『理論物理学教程』東京図書株式会社、1978年10月30日。 
• 深川, 俊太郎『アインシュタイン方程式を読んだら「宇宙」が見えた』ブルーバックス、2021年5月20日。 
• Chow, Tai L. (2008). Gravity, Black Holes, and the Very Early Universe: An Introduction to General Relativity and Cosmology. Springer. ISBN 9780387736310 . https://www.google.com/books/edition/Gravity_Black_Holes_and_the_Very_Early_U/fp9wrkMYHvMC?hl=en&gbpv=1&pg=PA39&printsec=frontcover  
• Gutfreund, Hanoch; Renn, Jürgen (2015). The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein's "The Foundation of General Relativity", Featuring the Original Manuscript of Einstein's Masterpiece. Princeton University Press. p. 75. ISBN 9780691175812 . https://www.google.com/books/edition/The_Road_to_Relativity/fXGYDwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA75&printsec=frontcover  
• Lichnerowicz, André (1950-2). A. Colin. ed (フランス語). Éléments de calcul tensoriel. OCLC 369863713. link to Google books - Google ブックス  
• Taillet, Richard; Villain, Loïc; Febvre, Pascal (2018年01月23日) (フランス語). Dictionnaire de physique. De Boeck Superieur. ISBN 978-2-8073-0744-5 . https://books.google.co.jp/books?id=pjlFDwAAQBAJ&redir_esc=y  

• リッチ解析 (英語版)

• Bertschinger, Edmund (1999年4月). "Introduction to Tensor Calculus for General Relativity". MIT. 2025年6月23日閲覧。

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