等差数列

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数学における等差数列(とうさすうれつ)または算術数列(さんじゅつすうれつ、(英: arithmetic progression, arithmetic sequence)とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差(こうさ、(英: common difference)という。

例えば、5, 7, 9, ... は初項 5, 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, ... は公差 6 の等差数列である。

等差数列の初項を a₀ とし、その公差を d とすれば、第n 項 a_n は

${\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd}${\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd}

であり、一般に

${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}

と書ける。

等差数列の和は算術級数 (arithmetic series) という。等差数列の無限和(無限算術級数)は発散級数である。

有限の^{[注釈 1]} 等差数列の和を算術級数と言う。公差 d の等差数列の第 n 項まで a₀, a₁, ..., a_n の総和は、

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}}

と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』("Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12)に登場する^{[注釈 2]} 。

算術級数の公式は、算術級数 S_n の各項を初項 a₀ で書き換えたものと、末尾の項 a_n で書き換えたもの和から 2S_n を求めることで得られる:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}}

右辺では公差 d を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 2S_n = (n + 1)(a₀ + a_n) となる。両辺を 2 で割れば

${\displaystyle S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}${\displaystyle S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}

を得る。そして算術級数の平均値 S_n/n + 1 は、明らかに a₀ + a_n/2 である。499年に、インド数学・天文学 (英語版)古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya (英語版) (section 2.18) でこのような方法を与えている。

初項 a₀ で、公差 d の等差数列に対して、初項から 第 n 項までの総乗

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}}(${\displaystyle x^{\overline {n}}}${\displaystyle x^{\overline {n}}} は上昇階乗冪)はガンマ関数 Γ を用いて

${\displaystyle P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}}${\displaystyle P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}}

という閉じた式 (英語版)によって計算できる(ただし、a₀/d が負の整数や 0 となる場合は、式は意味を持たない)。Γ(n + 1) = n! に注意すれば、上記の式は、1 から n までの積 1 ×ばつ 2 ×ばつ ⋯ ×ばつ n = n! および正の整数 m から n までの積 m ×ばつ (m + 1) ×ばつ ⋯ ×ばつ (n − 1) ×ばつ n = n!/(m − 1)! を一般化するものであることが分かる。

任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を(項の前後関係は変えずに)並べて与えられる数列(数列の「交わり」)は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである(中国の剰余定理から示せる)。両側無限等差数列からなる族に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はヘリー族 (英語版)である^[1] 。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

注釈

出典

• Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259-260. ISBN 0-387-95419-8  

• 線型差分方程式
• ×ばつ等比数列">×ばつ等比数列
• 一般化算術数列:算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
• 調和数列
• 三辺が算術整数列を成すヘロン三角形 (英語版)
• 算術数列を含む問題 (英語版)
• Utonality
• 等比数列
• 算術級数定理

• 『等差数列の和』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Progression". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic Series". mathworld.wolfram.com (英語).
• "Arithmetic progression", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press, 2001 [1994]
• arithmetic progression - PlanetMath.(英語)
• Definition:Arithmetic Progression at ProofWiki
• Sum of Arithmetic Progression at ProofWiki

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