一次方程式

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数学における一次方程式(いちじほうていしき、英語: first-degree polynomial equation, linear equation)は、一次多項式の解を求めるものである。

a, b は実数の定数とするとき、

${\displaystyle ax+b=0}${\displaystyle ax+b=0} または ${\displaystyle ax=-b}${\displaystyle ax=-b}

なる形をとる。後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば(a⁻¹ = 1/a が存在するから)一意的に解けて x = −b/a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。

一般形は

${\displaystyle ax+by+c=0}${\displaystyle ax+by+c=0}

で、これは {(x, y)| ax + by + c = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、

${\displaystyle y=mx+b}${\displaystyle y=mx+b}

なる形で扱うことができる。これはふつう、x を自由変数とし y を x の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。

三変数の場合

${\displaystyle ax+by+cz=d}${\displaystyle ax+by+cz=d}

はユークリッド空間 R³ における平面(空間平面)を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x₀ が与えられれば

${\displaystyle n(x-x_{0})=0}${\displaystyle n(x-x_{0})=0}

なる形に書きなおせる(平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化)。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rⁿ 内の超平面(余次元 1 のアフィン部分空間)を表す。すなわち n-変数の一次方程式

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}

は超平面の方程式である。一次形式

${\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}${\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L}${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L}

の形に書くこともできる。

一次方程式の理論は係数や解を(実数や複素数のような数に限らず)一般の(非可換)体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が(非可換)体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。

A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式

${\displaystyle Ax=b}${\displaystyle Ax=b}

は A が正則ならば解くことができて x = A⁻¹b となる。

より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式

${\displaystyle \tau x=b}${\displaystyle \tau x=b}

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ⁻¹が存在すれば x = τ⁻¹b となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、

${\displaystyle gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)}${\displaystyle gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)}

なども意味を持つ。

• 線型性

• Weisstein, Eric W. "Linear Equation". mathworld.wolfram.com (英語).

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