コーシーの冪根判定法

コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する。

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}

("lim sup" は上極限を意味する)とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての ${\displaystyle n\geq N}${\displaystyle n\geq N} に対し ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1} ならば、${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1}${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1} が成立する。比較判定法より、幾何級数 ${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }k^{i}}${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }k^{i}} が収束すれば、${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }a_{n}}${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }a_{n}} もまた収束する。

もし、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1} ならば、${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }1}${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }1} と比較して級数は発散する。a_n が非正である場合の絶対収束性は、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} を用いれば同様にして証明できる。

• ダランベールの収束判定法
• 収束半径

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536  
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). "§ 2.35". A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073  

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