連続の方程式

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連続の方程式(れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。

保存則と密接に関わっている。

狭義には、流体力学における質量保存則

${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}

(ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。)

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}

を指す。

広義には、スカラー 物理量 q についての保存則

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

(ρ:q の密度、j:q の流束)

あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式(一般の保存則)

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }

(σ:q の湧き出し密度)

を指すこともある。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という^[1] 。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、

領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 ${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}}${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量(流量) J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。

${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S}${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S}

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho ,円\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho ,円\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}}

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho ,円\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V}${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho ,円\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V}

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0}${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0}

となるので、微分形

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。

速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は

${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}}${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}}

となる^[2] 。

質量保存則から連続の式は

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0}

となる。

速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける^[1] 。

${\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho ,円dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}${\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho ,円dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}

ここで、${\displaystyle {D \over Dt}}${\displaystyle {D \over Dt}} は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}

が成立する。

この式は、実質微分の定義

${\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla }${\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla }

と公式

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho }${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho }

を使って、

${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}

と等価であることがわかる。

連続の方程式

${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho ,円\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}

に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である^[2] 。つまり、${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0}${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0} となるので、ρ≠ 0 であることから、

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である^[3] 。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

となる。

マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}

に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}}${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}}

において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、

${\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

となり、ガウスの式

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }

を代入することで連続の式が得られる。

電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 J^μ (μ= 0, 1, 2, 3) を

${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)}${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)}

と表す。ここで c は光速である。微分演算子

${\displaystyle \partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)}${\displaystyle \partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)}

を定義すると、連続の式は

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学における連続の式は確率の保存則を表す^[4] 。

Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}

と定義すると、シュレディンガー方程式

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }

を用いて、確率に対する連続の式

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

が得られる。

シュレディンガー方程式とその複素共役の式

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}}

それぞれに Ψ^* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}${\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}

更に

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)}${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)}

となり、連続の式

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}

ただし、

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}

が得られる。

ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える^[5] 。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は

${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho }${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho }

と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}}${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}} をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho }${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho }

が得られる。

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