反対圏

圏論という数学の分野において,与えられた圏 C の反対圏(はんたいけん,英: opposite category),逆圏(ぎゃくけん)あるいは双対圏(そうついけん,英: dual category)C^op は射を逆にする,つまり,各射の始域と終域を交換することによって作られる.逆にする操作を2回やるともとの圏になるので,逆圏の逆圏はもとの圏自身である.記号で書けば,${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C} である.

• 例の1つは半順序の不等式の向きを逆にして得られる.つまり X が集合で ≤ が半順序関係のとき,新しい半順序関係 ≤_new を

x ≤_new y ⇔ y ≤ x

によって定義できる.例えば,子と親,あるいは子孫と先祖という逆のペアがある.

• ブール代数とその準同型の圏はストーン空間 (英語版)と連続写像の圏の逆圏と同値である.
• アフィーンスキームの圏は可換環の圏の逆圏と同値である.
• ポントリャーギン双対性を制限してコンパクト ハウスドルフ空間 ハウスドルフ 可換 位相群の圏と(離散)アーベル群の圏の逆圏の間の同値を得る.
• Gelfand–Neumark の定理により,局所化可能な可測空間(と可測関数)の圏は可換フォン・ノイマン環(と *-環の正規 単位的 (英語版)準同型)の圏と同値である^[1] .

逆は積を保つ:

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}} (積圏 (英語版)を参照)

逆は関手を保つ:

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}^{[2] [3]} (関手圏,逆関手 (英語版)を参照)

逆は slice を保つ:

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})} (コンマ圏を参照)

• 双対対象 (英語版)
• 双対 (圏論)
• 双対
• 随伴関手
• 反変関手
• 逆関手 (英語版)

• Opposite category in nLab

• 数学に関する記事
• 圏の類

• ISBNマジックリンクを使用しているページ