中心 (代数学)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

${\displaystyle G}${\displaystyle G} を群とすると、その中心は集合

${\displaystyle \mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}}${\displaystyle \mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}}

である。

${\displaystyle G}${\displaystyle G} の中心は部分群である。なぜならば、${\displaystyle x}${\displaystyle x} と ${\displaystyle y}${\displaystyle y} を ${\displaystyle Z(G)}${\displaystyle Z(G)} の元とすると、任意の ${\displaystyle g\in G}${\displaystyle g\in G} に対して、

${\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}${\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}

なので、${\displaystyle xy}${\displaystyle xy} も中心に入る。同様にして、${\displaystyle x^{-1}}${\displaystyle x^{-1}} も中心に入る。

${\displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}}${\displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}}.

群の単位元 ${\displaystyle e}${\displaystyle e} は常に中心に入る。${\displaystyle eg=g=ge}${\displaystyle eg=g=ge}.

中心はアーベル群で ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の正規部分群である。${\displaystyle G}${\displaystyle G} の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。${\displaystyle G}${\displaystyle G} がアーベル群であることと ${\displaystyle Z(G)=G}${\displaystyle Z(G)=G} は同値である。

中心はちょうど、${\displaystyle z}${\displaystyle z} による共役、すなわち ${\displaystyle \left(g\mapsto z^{-1}gz\right)}${\displaystyle \left(g\mapsto z^{-1}gz\right)} が恒等写像であるような、${\displaystyle G}${\displaystyle G} の元 ${\displaystyle z}${\displaystyle z} からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。${\displaystyle C_{G}(G)=Z(G)}${\displaystyle C_{G}(G)=Z(G)} である。

• 3次対称群 (英語版) ${\displaystyle S_{3}=\left\{\mathrm {id} ,(1\;2),(1\;3),(2\;3),(1\;2\;3),(1\;3\;2)\right\}}${\displaystyle S_{3}=\left\{\mathrm {id} ,(1\;2),(1\;3),(2\;3),(1\;2\;3),(1\;3\;2)\right\}} の中心は単位元 ${\displaystyle \mathrm {id} }${\displaystyle \mathrm {id} } のみからなる、なぜならば:

${\displaystyle (1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)}${\displaystyle (1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)}

${\displaystyle (1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)}${\displaystyle (1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)}

${\displaystyle (1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)}${\displaystyle (1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)}

${\displaystyle (1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)}${\displaystyle (1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)}

• 二面体群 ${\displaystyle D_{4}}${\displaystyle D_{4}} は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
• 実数を成分に持つ可逆 n×ばつn-行列の乗法群の中心は単位行列の(0 でない)実数倍からなる。

環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

${\displaystyle \mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in R\}.}${\displaystyle \mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in R\}.}

中心 ${\displaystyle Z(R)}${\displaystyle Z(R)} は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in A\}}${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in A\}}

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中心は(可換な)イデアル

${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{z\in {\mathfrak {g}}\mid [x,z]=0\ {\text{for all}}\ x\in {\mathfrak {g}}\}}${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{z\in {\mathfrak {g}}\mid [x,z]=0\ {\text{for all}}\ x\in {\mathfrak {g}}\}}

である。ただし ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はブラケット積、つまり ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

• 一般線型群 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} の中心は単位行列 ${\displaystyle E_{n}}${\displaystyle E_{n}} のスカラー倍からなる。

${\displaystyle Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}}${\displaystyle Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}}.

• 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

• Centre of a group (Encyclopaedia of Mathematics)
• Centre of a ring (Encyclopaedia of Mathematics)
• Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen ^{[リンク切れ ]} (PlanetMath)

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• リー環論
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