総乗
総乗(そうじょう)とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義
[編集 ]結合律を満たす積 ×ばつ の定義される集合 M の元の列 a1, a2, ..., an の総乗を
- {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, ..., n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を
- {\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 ×ばつ に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)
- {\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}
積が非結合的な場合
[編集 ]積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 ×ばつ a2 ×ばつ … ×ばつ an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
- {\displaystyle p_{1}=a_{1},}
- {\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}
このとき、{\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}} と書くことにすると、
- {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積
[編集 ]総和と同様に、可算無限列 {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の総乗
- {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}
を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
定義
[編集 ]実数や複素数からなる可算列 {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の無限乗積を定義する。無限乗積 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとは2条件
が成り立つことをいう[2] [3] 。無限乗積 {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとき、その値を
- {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}
と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4] 。
また数列 {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} に対して無限乗積 {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )} が収束するとき、無限乗積 {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})} は絶対収束するという[5] [3] 。無限乗積 {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})} が絶対収束するのは無限級数 {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}} が絶対収束するとき、かつそのときに限る[6] [3] 。
例
[編集 ]- {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
- {\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}
- {\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
- {\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}
- {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}
- {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
- {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
({\displaystyle \gamma }はオイラーの定数である)[3] [9] 。
qポッホハマー記号
[11] [12] [13] 。
- {\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}
- {\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x},円{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}
注
[編集 ]- ^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
- ^ Konrad 1956, p. 93 , Definition 3.7.1.
- ^ a b c d e f 神保道夫、複素関数入門、岩波書店。
- ^ Konrad 1956, p. 93 , Theorem 3.7.2.
- ^ Konrad 1956, p. 96 .
- ^ Konrad 1956, p. 96 , Theorem 3.7.6.
- ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
- ^ A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
- ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
- ^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
- ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
- ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
- ^ a b Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
- ^ Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
- ^ Salem, A. (2012). On a {\displaystyle q}-gamma and a {\displaystyle q}-beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.
参考文献
[編集 ]- Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR 79110. Zbl 0070.05807 . https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ