極限の一覧は、解析学における代表的な関数の極限の一覧である。極限に関しては極限の項を参照のこと。
以下で、xは変数、a、b、cは定数である。
- {\displaystyle {\mbox{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\mbox{ and }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\mbox{ then:}}}
- {\displaystyle \lim _{x\to c},円[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
- {\displaystyle \lim _{x\to c},円[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
- {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\mbox{ if }}L_{2}\neq 0}
- {\displaystyle \lim _{x\to c},円f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer}}}
- {\displaystyle \lim _{x\to c},円f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer, and if }}n{\mbox{ is even, then }}L_{1}>0}
- {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\mbox{ if }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\mbox{ or }}\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty } (ロピタルの定理)
- {\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
- {\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
- {\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}
- {\displaystyle \lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ if }}r{\mbox{ is a positive integer}}}
- {\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
- {\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x^{r}}}=\left\{{\begin{matrix}-\infty ,&{\mbox{if }}r{\mbox{ is odd}}\\+\infty ,&{\mbox{if }}r{\mbox{ is even}}\end{matrix}}\right.}
- {\displaystyle \lim _{x\to +0}\log _{a}x={\begin{cases}-\infty ,&a>1\\\infty ,&a<1\end{cases}}}
- {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\qquad {\mbox{ if }}a>1}
- {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
- {\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
- {\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
- {\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad {\mbox{ for any integer }}n}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {N}{x}}=0{\mbox{ for any real number }}N}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{N}}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\mbox{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\1,円&N=0\0,円&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\1,円&N=1\0,円&N<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\mbox{ for any }}N>1}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\0,円&N=0\\{\mbox{does not exist}},&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\mbox{ for any positive integer }}N}
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
{\displaystyle \lim _{x\to +0}\log x=-\infty }
上記に使われた用語の和訳を以下に示す。
- positive - 正の
- integer - 整数
- even - 偶数の
- odd - 奇数の
- any - 任意の
- real - 実数の
- does not exist - 存在せず