特性関数型ゲーム

特性関数型ゲーム(とくせいかんすうがたゲーム、英: game of characteristic function form)とは、ゲーム理論における協力ゲームの一部であり、協力ゲームの研究・応用上重要な部分である。特性関数型ゲームは特性関数によって表現される。

効用がen:譲渡可能な協力ゲームでは、個々のプレイヤーへの報酬は示されない。 代わりに、特性関数は各提携 (coalition) への報酬を決定する。 標準的な仮定では、空の(誰も参加しない)提携への報酬はゼロであるとする。

特性関数型の起源は、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンのゼミナール本である。 同書で、提携を許す標準型ゲームを調査しているときに、提携 ${\displaystyle C}${\displaystyle C} を形成する場合、 ${\displaystyle C}${\displaystyle C} はあたかもその補提携^[1] (${\displaystyle N\setminus C}${\displaystyle N\setminus C}) と対決する二人ゲームをプレイしているかのように行動する。${\displaystyle C}${\displaystyle C} の報酬は特性値である。

今では、標準形ゲームから特性値を導く上述とは異なる複数のモデルが存在するが、 特性関数型ゲームのすべてが標準型ゲームから導かれるわけではない。

形式的には、特性関数型ゲーム(TUゲームとしても知られる)は順序対 ${\displaystyle (N,v)}${\displaystyle (N,v)}, ここで ${\displaystyle N}${\displaystyle N} はプレイヤーの集合を表し、 ${\displaystyle v:2^{N}\longrightarrow \mathbb {R} }${\displaystyle v:2^{N}\longrightarrow \mathbb {R} } は特性関数を表す。

引用元^[2]

1. ${\displaystyle v(\varnothing )=0}${\displaystyle v(\varnothing )=0}
2. ${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}

ここでS と T は N の任意の非交の(交わりが空集合の)部分集合である。

関数 ${\displaystyle v}${\displaystyle v} は以下のとおりである。 もしも S がプレイヤーの提携で、協力に合意している場合、${\displaystyle v(S)}${\displaystyle v(S)} は その提携からの総報酬の期待値を示す。${\displaystyle S}${\displaystyle S} 以外のプレイヤーの行動とは独立である。

不等式に示される ${\displaystyle v}${\displaystyle v} の優加法性は協同すればするほど総報酬が増加し、 誰(単独またはグループ)が参加しても全体の報酬が減ることはない。

特性関数型は効用譲渡性を仮定できないゲームにも一般化されている。

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