ブール関数
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ブール関数(ブールかんすう、英: Boolean function)は、非負整数 k 個のブール領域 B {\displaystyle =\{0,1\}} の引数をとり、1個のブール領域の値となる関数 f : Bk → B である。k = 0 では、単に定数 B となる。
ブール関数を一般化すると、f : X → B という形式の関数において、X が任意の集合である場合を「ブール値関数」と呼ぶ。X = M = {1, 2, 3, …} であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限列である。X = [k] = {1, 2, 3, …, k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は {\displaystyle 2^{2^{k}}} 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす。
効率的表現
[編集 ](命題論理の)論理式で表現できるが、効率的な表現としては次のようなものがある。
- 二分決定図 (BDD)
- 否定標準形
- Propositional Directed Acyclic Graph (PDAG)
簡単化
[編集 ]簡単な表現に変換する手法として次のようなものがある。
- カット・アンド・トライ法
- ブール代数の定義を用い、効率的な表現に変形していく。
- ベン図
- ベン図を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。
以上は人間の直感によるものであり「変換する手法」と言えたものではない。
- カルノー図法
- カルノー図を用い、効率的な表現に変形していく。
- クワイン・マクラスキー法
- クワイン・マクラスキー法を用い、効率的な表現に変形していく。計算機で簡単化するのに適している。
標準形
[編集 ]選言標準形と連言標準形が代表的である。他に、リード-マラー標準形などがある。
リード-マラー標準形
[編集 ]リード-マラー標準形(en:Algebraic normal form)は、積(AND)の排他的論理和(XOR)による標準形である。
ここで {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}} である。
従って、列 {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}} の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの(AND)項に現われる {\displaystyle x_{i}} の個数で表される。つまり、{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}} の次数は 1(線形)であり、{\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}} の次数は 3(立方)である。