エネルギー・運動量テンソル

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エネルギー・運動量テンソル(エネルギー・うんどうりょうテンソル、英語: energy-momentum tensor、stress-energy tensor、stress-energy-momentum tensor)とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。

一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。

エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は $T^{\mu \nu }$ {\displaystyle T^{\mu \nu }} で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、 $T^{\mu \nu }=0$ {\displaystyle T^{\mu \nu }=0} とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }$ {\displaystyle T^{\mu \nu }} は、定義から明らかに対称テンソルである。

以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は $(-,+,+,+),円$ {\displaystyle (-,+,+,+),円}とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0,円

{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0,円}

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義

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エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。

作用積分が

S[\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x,円{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )

{\displaystyle S[\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x,円{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )}

と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。

従って、場は

\delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)

{\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)}

と変換される。

エネルギー・運動量テンソルは

$T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$ {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}

となる。この定義には任意性があり、 $h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu }$ {\displaystyle h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu }} により

$T_{\mu }^{\nu }\to T_{\mu }^{\nu }+\partial _{\rho }h_{\mu }{}^{\nu \rho }$ {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }\to T_{\mu }^{\nu }+\partial _{\rho }h_{\mu }{}^{\nu \rho }}

で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。

別の定義の仕方として、時空の計量による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が

$S[g,\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(g,\phi ,\partial \phi ){\sqrt {-g}},円\mathrm {d} ^{4}x$ {\displaystyle S[g,\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(g,\phi ,\partial \phi ){\sqrt {-g}},円\mathrm {d} ^{4}x}

で書かれているとき、計量 g による作用の汎関数微分は

${\begin{aligned}{\frac {\delta S[g,\phi ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}&={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}{\sqrt {-g}}+{\frac {1}{c}}{\mathcal {L}},円{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial g_{\mu \nu }}}\\&={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\right]{\sqrt {-g}}\\&={\frac {1}{2c}}T^{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\\\end{aligned}}$ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[g,\phi ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}&={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}{\sqrt {-g}}+{\frac {1}{c}}{\mathcal {L}},円{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial g_{\mu \nu }}}\\&={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}\right]{\sqrt {-g}}\\&={\frac {1}{2c}}T^{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\\\end{aligned}}}

である。従って、エネルギー運動量テンソルは

$T^{\mu \nu }(x)=2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}$ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)=2{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g_{\mu \nu }}}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}}

で与えられる。

各成分の意味

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応力エネルギーテンソル

時間-時間成分、即ち $T^{00},円$ {\displaystyle T^{00},円} は、エネルギー密度である。
時間-空間成分、即ち $T^{0j},円$ {\displaystyle T^{0j},円} は、 $x^{j},円$ {\displaystyle x^{j},円}の方向へのエネルギーの流れである。
空間-時間成分、即ち $T^{i0},円$ {\displaystyle T^{i0},円} は、i-成分の運動量密度である。
空間成分、即ち $T^{ij},円$ {\displaystyle T^{ij},円} は、 $x^{j},円$ {\displaystyle x^{j},円}の方向への i-成分の運動量の流れである。

相対論的粒子

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相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は

${\begin{aligned}S[g,X,\gamma ]&={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(X_{i}),円{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}(\lambda ),円\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(x),円{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\delta ^{4}(X_{i}-x),円\gamma _{i}(\lambda ),円\mathrm {d} \lambda \\\end{aligned}}$ {\displaystyle {\begin{aligned}S[g,X,\gamma ]&={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(X_{i}),円{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}(\lambda ),円\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(x),円{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\delta ^{4}(X_{i}-x),円\gamma _{i}(\lambda ),円\mathrm {d} \lambda \\\end{aligned}}}

であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[g,X,\gamma ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}={\frac {c}{\sqrt {-g}}}\int \sum _{i}{\frac {1}{\gamma _{i}}}{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x),円\mathrm {d} \lambda$ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[g,X,\gamma ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}={\frac {c}{\sqrt {-g}}}\int \sum _{i}{\frac {1}{\gamma _{i}}}{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x),円\mathrm {d} \lambda }

と導かれる。補助変数 γ_i から導かれる拘束条件 $\gamma ={\frac {1}{m_{i}}}{\frac {\mathrm {d} \tau _{i}}{\mathrm {d} \lambda }}$ {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{m_{i}}}{\frac {\mathrm {d} \tau _{i}}{\mathrm {d} \lambda }}} を用いれば

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{i}m_{i}c\int u_{i}^{\mu }u_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x),円\mathrm {d} \tau _{i}$ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{i}m_{i}c\int u_{i}^{\mu }u_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x),円\mathrm {d} \tau _{i}}

となる。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

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物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p,円

{\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p,円}

$\rho ,p,円$ {\displaystyle \rho ,p,円} は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 $g^{\mu \nu },u^{\mu },円$ {\displaystyle g^{\mu \nu },u^{\mu },円} は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、 $u^{\mu }=(1,0,0,0),円$ {\displaystyle u^{\mu }=(1,0,0,0),円}、流体速度を $v^{i},円$ {\displaystyle v^{i},円} と観測する場合には $u^{\mu }=(1,v^{i}),円$ {\displaystyle u^{\mu }=(1,v^{i}),円})である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、 $g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },,円|v^{i}|\ll 1,,円p\ll \rho ,円$ {\displaystyle g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },,円|v^{i}|\ll 1,,円p\ll \rho ,円}となるから、行列形式で成分を書くと

T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}

{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}}

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

\pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij},円

{\displaystyle \pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij},円}

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

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電磁場を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。時空の計量 g を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は

${\mathcal {L}}_{A}(g,F)=-{\frac {c}{4Z_{0}}}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }(x)$ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}(g,F)=-{\frac {c}{4Z_{0}}}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }(x)}

である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {c}{Z_{0}}}\left[F^{\mu \rho }F^{\nu }{}_{\rho }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }\right]$ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {c}{Z_{0}}}\left[F^{\mu \rho }F^{\nu }{}_{\rho }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }\right]}

となる。 T⁰⁰ は電磁場のエネルギー密度、T^0j はポインティング・ベクトル、T^ij はマクスウェルの応力テンソルである。

定義

各成分の意味

相対論的粒子

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

関連項目