高度合成数

高度合成数(こうどごうせいすう、英: highly composite number)とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,...(オンライン整数列大辞典の数列 A002182)

例えば24は約数を(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。

約数の個数は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 2⁴ ×ばつ 3³ ×ばつ 5 ×ばつ 7 であるから、約数の個数は (4+1) ×ばつ (3+1) ×ばつ (1+1) ×ばつ (1+1) = 80 個である。

高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は

${\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}${\displaystyle 2^{a_{2}}3^{a_{3}}5^{a_{5}}\cdots p(b)^{a_{p(b)}}}

という形で素因数分解され、

${\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}${\displaystyle a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq a_{p(b)}}

を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。

また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では a_p= 1 である。

したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ(例:時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など)、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して

(log_e x)^a ≤ Q(x) ≤ (log_e x)^b

が成り立つ。

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