純虚指数函数

初等解析学における函数 cis とは、実数 x を複素数 cos(x) + i sin(x) に対応させる関数のことである^{[1] [2] [3] [4]} 。ここで cos は余弦関数、sin は正弦関数、i は虚数単位である。

cis(x) ≔ cos(x) + i sin(x)

"cis" は "cos + i sin" の省略形である。

この函数 cis: R → S¹(⊂ C*) は、複素指数函数 e^z を用いれば、オイラーの公式より

cis(x) = e^ix

と表せる。すなわち純虚変数 ix の指数函数(じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英: imaginary exponential function)として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 x の関数であることを強調する上で有用となる。

初めて造語 cis が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)^[5] であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム (英語版)が Uniplanar Algebra (1893)^{[6] [7]} などで、あるいはジェームズ・ハークネス (英語版)とフランク・モーリー が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)^{[7] [8]} で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する^{[5] [6] [1]} 。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ(例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)^[9] )でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語(例えば C, C++,^[10] Common Lisp,^{[11] [12]} D,^[13] Fortran,^[14] Haskell ^[15] )およびオペレーティングシステム(例えば Windows, Linux,^[14] macOS や HP-UX ^[16] )で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い^{[13] [17]} 。

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'cis' や 'exp' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。e^ix2, cis(x²), exp(ix²) を比較してみると、読み手には cis(x²) が見易く読み取り易い^{[要出典 ]}。

cos(x) + i sin(x) を cis(x) と表記する cis 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → cos + i sin) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

複素数 z = x + iy(x, y は実数)に対して、複素指数函数は次の式で表せる:

• exp(z) = exp(x)⋅cis(y)

cis(x) = cos(x) + i sin(x)^[18] と、

cis(−x) = cos(−x) + i sin(−x) = cos(x) − i sin(x)

を連立することにより、cos(x), sin(x) は cis関数で表せる:

• ${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}
• ${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
• 微分:${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}^[19]
• 積分:${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z),円dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z),円dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}^[18]

以下はオイラーの公式から直ちに従う:

• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x),円\operatorname {cis} (y)}${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x),円\operatorname {cis} (y)}^[20]
• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}

これらの等式は x, y が任意の複素数として成り立つ。x, y がともに実ならば

${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}^[20]

と評価することができる。

• ド・モアブルの定理
• オイラーの公式

• Weisstein, Eric W. "Cis". mathworld.wolfram.com (英語).

• 複素数
• 三角法
• 初等関数
• 数学に関する記事

• 解消済み仮リンクを含む記事
• 出典を必要とする記事/2016年1月
• 出典を必要とする記述のある記事/2016年6月