比例式

比例式(ひれいしき)とは、比あるいは連比に関する等式のことである。

A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいとき、

A:B=X:Y

{\displaystyle A:B=X:Y}

と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものを比例式という

定義

A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、B に対する A の割合が、Y に対する X の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち

{A \over B}={X \over Y}

{\displaystyle {A \over B}={X \over Y}}

なる分数の等式が成り立つことである。これは

A:B=X:Y\iff {B \over A}={Y \over X}

{\displaystyle A:B=X:Y\iff {B \over A}={Y \over X}}

あるいは

A:B=X:Y\iff {A \over X}={B \over Y}

{\displaystyle A:B=X:Y\iff {A \over X}={B \over Y}}

と定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、

A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}\iff {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}

{\displaystyle A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}\iff {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}

と定義され、比の場合と同様に等式

A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}

{\displaystyle A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}}

または

{A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}

{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}

のことを比例式とよぶ。

比例式

{A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}

{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}

の値を c とすると

{A_{1} \over X_{1}}=c,\ {A_{2} \over X_{2}}=c,\ldots ,{A_{n} \over X_{n}}=c

{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}=c,\ {A_{2} \over X_{2}}=c,\ldots ,{A_{n} \over X_{n}}=c}

が成り立つから、これを連立一次方程式

\left\{{\begin{matrix}A_{1}=cX_{1},\\A_{2}=cX_{2},\\\vdots \quad \\A_{n}=cX_{n}.\end{matrix}}\right.

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}A_{1}=cX_{1},\\A_{2}=cX_{2},\\\vdots \quad \\A_{n}=cX_{n}.\end{matrix}}\right.}

の形に表示することができる。

比例式には、次のような性質がある。

外項の積と内項の積が等しい(分数式で考えた場合、たすきに掛けた積が等しい)。
$A:B=X:Y\iff AY=BX.$ {\displaystyle A:B=X:Y\iff AY=BX.}