最小公倍数

最小公倍数(さいしょうこうばいすう、英: least common multiple)とは、${\displaystyle 0}${\displaystyle 0}ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。

2つ以上の整数 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}の最小公倍数とは、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}の公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}を、素数 (prime) p を用いて

と素因数分解したとき、${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}の最小公倍数は

で与えられる。

例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。

12 = 2²×ばつ3¹

16 = 2⁴

48 = 2⁴×ばつ3¹

公倍数は最小公倍数の倍数である。

証明

${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の最小公倍数を ${\displaystyle l}${\displaystyle l} とする. ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の一般の公倍数を ${\displaystyle m}${\displaystyle m} とし,${\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)}${\displaystyle m=ql+r,\quad (0<r<l)} と置く。 変形して ${\displaystyle r=m-ql}${\displaystyle r=m-ql} ...1 1右辺は ${\displaystyle m}${\displaystyle m} は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数、${\displaystyle l}${\displaystyle l} も同じく ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数。 よって1の左辺 ${\displaystyle r}${\displaystyle r} は ${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z}${\displaystyle a,b,c,\cdots ,z} の公倍数になる。 しかし${\displaystyle 0<r<l}${\displaystyle 0<r<l} となり、最小公倍数 ${\displaystyle l}${\displaystyle l} よりも一般公倍数 ${\displaystyle r}${\displaystyle r} が小さく矛盾. すなわち ${\displaystyle r=0}${\displaystyle r=0}。よって公倍数 ${\displaystyle m=ql}${\displaystyle m=ql} であり最小公倍数の倍数となっている.(証明終)

正整数${\displaystyle a,\ b}${\displaystyle a,\ b}に対して、${\displaystyle a}${\displaystyle a}と${\displaystyle b}${\displaystyle b}の最大公約数 ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)}${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b)}と最小公倍数${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)}${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\ b)}との間には

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、${\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15}${\displaystyle a=2,\ b=6,\ c=15}とすると、${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30}${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,\ b,\ c)=1,\ \mathrm {lcm} (a,\ b,\ c)=30}であるが、${\displaystyle abc=180}${\displaystyle abc=180}である。

多項式の${\displaystyle 0}${\displaystyle 0}でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、${\displaystyle x^{3}-x}${\displaystyle x^{3}-x}と${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}の最小公倍数は${\displaystyle x(x+1)^{2}(x-1)}${\displaystyle x(x+1)^{2}(x-1)}である。

多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。

• 高木貞治『初等整数論講義第2版』共立出版、東京、1971年。 

• 公約数
• 公倍数
• 最大公約数
• 多項式

• 数論
• 初等数学
• 数学に関する記事

• 英語版ウィキペディアからの翻訳を必要とする記事