ミンコフスキー汎関数

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数学の関数解析学の分野におけるミンコフスキー汎関数(ミンコフスキーはんかんすう、英: Minkowski functional)とは、線型空間上に距離の概念をもたらすような関数のことである。

K を、線型空間 V に含まれる対称な凸体とする。V 上の関数 p を

${\displaystyle p(x)=\inf\{\lambda \in \mathbb {R} _{>0}:x\in \lambda K\}}${\displaystyle p(x)=\inf\{\lambda \in \mathbb {R} _{>0}:x\in \lambda K\}}

によって定める(ただしこの右辺が well-defined である場合)^[1] 。

ノルム線型空間 X を考える。そのノルムは ||·|| で表されるものとする。K を、X に含まれる単位球とする。関数 p: X → R を

${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}

によって定める。このとき、${\displaystyle p(x)=\|x\|}${\displaystyle p(x)=\|x\|} が成立するため、p はまさしく X 上のノルムということになる。この p はミンコフスキー汎関数の特別な例である。

X を、スカラーの体(基礎体)K による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ X′ を、X の代数的双対とする。すなわち、φ: X → K は X 上の線型汎関数である。a > 0 を固定し、集合 K を

${\displaystyle K=\{x\in X:|\varphi (x)|\leq a\}}${\displaystyle K=\{x\in X:|\varphi (x)|\leq a\}}

によって定める。ふたたび、関数

${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}

を定める。すると、

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{a}}|\varphi (x)|}${\displaystyle p(x)={\frac {1}{a}}|\varphi (x)|}

が成立する。この関数 p(x) もミンコフスキー汎関数の特別な例である。これは次のような性質を備えている:

1. 劣加法的である: p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
2. 同次的である: すべての α ∈ K に対して、p(α x) = |α| p(x) が成り立つ。
3. 非負である。

以上の性質から p は、誘導位相を備えた X 上の半ノルムということになる。これは「良い」集合を通して定義されたミンコフスキー汎関数の特性である。半ノルムと、そのような集合によって与えられたミンコフスキー汎関数との間には一対一の対応が存在する。ここで言う「良い」という語の正式な意味は、後述の節を参照されたい。

強い条件の要請されるノルムと比較して、半ノルムであるこの場合では p(x) = 0 は必ずしも x = 0 を意味しないことに注意されたい。上の例では、φ の核にはゼロでない x が含まれている。したがって、結果として導かれる位相は必ずしもハウスドルフではない。

上の例では、与えられた(複素あるいは実)線型空間 X およびその部分集合 K に対し、対応するミンコフスキー汎関数

${\displaystyle p_{K}\colon X\to [0,\infty )}${\displaystyle p_{K}\colon X\to [0,\infty )}

を

${\displaystyle p_{K}(x)=\inf\{r>0:x\in rK\}}${\displaystyle p_{K}(x)=\inf\{r>0:x\in rK\}}

によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば ${\displaystyle K}${\displaystyle K} の計測関数(gauge)と呼ばれる。

この定義では、非明示的に 0 ∈ K および、集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないことが仮定されている。p_K が半ノルムの性質を備えるためには、K にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:

1. K は凸である(これは p_K の劣加法性を意味する)。
2. K は均衡である。すなわち、すべての |α| ≤ 1 に対して αK ⊂ K が成立する(これは p_K の同次性を意味する)。

これらの条件を満たす集合 K は、絶対凸と呼ばれる。

K の凸性は関数 p_K の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に p_K(x) = p_K(y) = r を仮定する。すると、任意の ε > 0 に対して x, y ∈ (r + ε) K = K′ となる。K が凸であるという仮定により、 K' もまた凸であることが分かる。したがって、1⁄2 x + 1⁄2 y は K' に含まれる。ミンコフスキー汎関数 p_K の定義により、

${\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon }${\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon }

が得られるが、この左辺は 1⁄2 p_K(x + y) であるため、

${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \quad \forall \epsilon >0}${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \quad \forall \epsilon >0}

が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の p_K(x) > p_K(y) の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。

注意 集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないという元々の仮定の下で K が凸であるということは、K が吸収的集合であることを意味する。

K が均衡であるということは

${\displaystyle \lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K}${\displaystyle \lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K}

を意味することに注意されたい。したがって、

${\displaystyle p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)}${\displaystyle p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)}

を得る。

• ハドヴィガーの定理
• ヒューゴ・ハドヴィガー
• モルフォロジー画像処理

• Thompson, Anthony C. (1996). Minkowski Geometry. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40472-X  

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