フェルミ分布関数
- العربية
- Azərbaycanca
- Беларуская
- Български
- বাংলা
- Bosanski
- Català
- Čeština
- Deutsch
- English
- Esperanto
- Español
- Eesti
- Euskara
- فارسی
- Suomi
- Français
- Gaeilge
- עברית
- Hrvatski
- Magyar
- Հայերեն
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 한국어
- Nederlands
- Norsk nynorsk
- Norsk bokmål
- Polski
- Português
- Русский
- Srpskohrvatski / српскохрватски
- Simple English
- Slovenčina
- Slovenščina
- Српски / srpski
- Svenska
- Türkçe
- Татарча / tatarça
- Українська
- Oʻzbekcha / ўзбекча
- Tiếng Việt
- 吴语
- 中文
- 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン(Google翻訳)。
- 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。
- 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。
- 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。
- 翻訳後、
{{翻訳告知|en|Fermi–Dirac statistics|...}}
をノートに追加することもできます。 - Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
統計力学 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||
熱力学 · 気体分子運動論 | ||||||||||||
| ||||||||||||
フェルミ分布関数(フェルミぶんぷかんすう、英: Fermi distribution function)とは、相互作用のないフェルミ粒子の系において、一つのエネルギー準位にある粒子の数(占有数)の分布を与える理論式である[1] 。フェルミ・ディラック分布とも呼ばれる。
定義
[編集 ]理想フェルミ気体の逆温度 β、化学ポテンシャル μ、連続変数としてのエネルギーεを用いて
- {\displaystyle f(\epsilon )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta (\epsilon -\mu )}+1}}}
と定義される関数をフェルミ分布関数と呼ぶ。フェルミ分布関数は 0 から 1 の間の値をとる。
低温でのふるまい
[編集 ]絶対零度(T→0, β→∞)の極限では、フェルミ分布関数はヘヴィサイドの階段関数を用いて
{\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }f(\epsilon )=\theta (\mu -\epsilon )={\begin{cases}1&(\epsilon <\mu )\1円/2&(\epsilon =\mu )\0円&(\epsilon >\mu )\\\end{cases}}}
となる。このときの化学ポテンシャルをフェルミエネルギーと呼ぶ。
占有数としての意味
[編集 ]量子数 νで指定されるエネルギー準位ενを占有しているフェルミ粒子の個数 nνの統計的期待値⟨nν⟩を考える。占有数はマクロな観測量では無いが、期待値を求めておくと量子理想気体などの解析に便利である[2] 。⟨nν⟩をグランドカノニカル分布で求めると、以下のようになる[3] 。
- {\displaystyle \langle n_{\nu }\rangle =f(\epsilon _{\nu })\equiv {\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta (\epsilon _{\nu }-\mu )}+1}}}
つまりフェルミ分布関数のεに占有数の期待値を求めたい準位のエネルギーενを入れると占有数の期待値が求まる。フェルミ分布関数が 0 から 1 までの値しかとれないことは、パウリの排他原理によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか占有できないこととも整合している。
注意点
[編集 ]実際にフェルミ分布関数を用いる場合には、準位が存在しないエネルギーεでのフェルミ分布関数を考えることがある。しかしそのような場合、準位が存在しないエネルギー領域でのフェルミ分布関数の値に占有数としての意味は無い。
たとえば半導体や絶縁体中の電子を考える際、フェルミエネルギーがエネルギーギャップ中に存在するため、エネルギーギャップ中まで拡張したフェルミ分布関数を考えることが多い。
脚注
[編集 ]参考文献
[編集 ]- 高田康民『多体問題』朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、1999年。ISBN 978-4-254-13679-1。
- Kittel, Charles 宇野良清、津屋昇、新関駒二郎、森田章、山下次郎訳 (2005). キッテル固体物理学入門 (8 ed.). 丸善出版. ISBN 978-4-621-07653-8