ハーン多項式
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ハーン多項式(はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials)は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる[1] 。
定義
[編集 ]ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:
- {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,n+\alpha +\beta +1,-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.}
性質
[編集 ]直交関係
[編集 ]{\displaystyle \alpha ,\beta <-1} または {\displaystyle \alpha ,\beta <-N} に対して以下の直交関係を満たす:
- {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.}
但し、{\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。
漸化式
[編集 ]以下の漸化式が成り立つ。
- {\displaystyle -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).}
但し、{\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)} を {\displaystyle Q_{n}(x)} と略記し、
- {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {(n+\alpha +\beta +1)(n+\alpha +1)(N-n)}{(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}},\\C_{n}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +N+1)(n+\beta )}{(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)}}\end{aligned}}}
とした。
差分方程式
[編集 ]次の差分方程式を満たす:
- {\displaystyle n(n+\alpha +\beta +1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).}
但し、
- {\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&=(x+\alpha +1)(x-N),\\D(x)&=x(x-\beta -N-1).\end{aligned}}}
ロドリゲスの公式に相当するもの
[編集 ]ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:
- {\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)_{n}}{(-N)_{n}}}\nabla ^{n}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,N-n).}
母関数
[編集 ]以下の母関数を持つ:
- {\displaystyle {_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x\\\alpha +1\end{matrix}};-t\right){_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N\\\beta +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}
- {\displaystyle {_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}-x,-x+\beta +N+1\\-\end{matrix}};-t\right){_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\alpha +1\\-\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}(\alpha +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}
- {\displaystyle \left[(1-t)^{-\alpha -\beta -1}{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +2),-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +\beta +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}
双対ハーン多項式との関係
[編集 ]詳細は「双対ハーン多項式」を参照
変数 {\displaystyle x} と {\displaystyle n} を交換することによって双対ハーン多項式 {\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\alpha ,\beta ,N)} が得られる:
- {\displaystyle Q_{x}(n;\alpha ,\beta ,N)=R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,N).}
参考文献
[編集 ]- ^ Roelof Koeko; René F. Swarttouw (1998). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. 98-17. Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics. http://homepage.tudelft.nl/11r49/documents/as98.pdf .
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