ウィーンの変位則

ウィーンの変位則(ウィーンのへんいそく、英: Wien's displacement law)とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。

なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則と呼ばれることも多い。

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}

ここで T は黒体の絶対温度、λ_max はピーク波長、b は比例定数であり、

その値は

${\displaystyle b=}${\displaystyle b=} 2.897771955...×ばつ10⁻³ m⋅K

である^[1] 。

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる(色温度も参照)。

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 u は次式で表される:

${\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}},円{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}${\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}},円{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}

波長の最大値 λ_max を求めるために、波長分布 u(λ) を λ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}},円{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}},円{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}}

ここで x = hc/λ_maxkT とすると、

${\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}${\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}

となる。この解はランベルトのW関数で、

${\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276}${\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276}

と表される。x から λ_max を求めると、

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}}${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}}

を得る。

振動数で表示されたプランクの公式

${\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}${\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x = hν_max/kT は

${\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}${\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}

の解で、

${\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214}${\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214}

となる。したがってピークにおける振動数は

${\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}}${\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}}

となる。${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c}${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c} ではないことに注意が必要である。

出典

• 黒体 - 黒体放射(黒体輻射)
• 色温度
• 放射温度計
• パイロメーター
• キルヒホッフの法則
• プランクの法則
• ヴィーンの放射法則
• レイリー・ジーンズの法則
• シュテファン=ボルツマンの法則
• 佐久間=服部方程式(en)
• 光波妨害技術

• 量子力学
• 統計力学
• 熱放射
• 物理学のエポニム
• 実験式