余代数

余代数(よだいすう、英語: coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

${\displaystyle K}${\displaystyle K} を体、${\displaystyle C}${\displaystyle C} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K} 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C}${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C}、${\displaystyle \varepsilon :C\to K}${\displaystyle \varepsilon :C\to K} が存在して、これらが

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }(余結合律)、
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad }(余単位律)

を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数という。また、${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } を余積、${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon } を余単位という。

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}、${\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')}${\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-余代数とする。${\displaystyle K}${\displaystyle K}-線型写像 ${\displaystyle f:C\to D}${\displaystyle f:C\to D} が

${\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}${\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}

${\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }${\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }

を満たすとき ${\displaystyle f}${\displaystyle f} を余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数、${\displaystyle D\subset C}${\displaystyle D\subset C} とする。${\displaystyle D}${\displaystyle D} が部分余代数であるとは、${\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D}${\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D} を満たすことをいう。このとき、 ${\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})}${\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})} は余代数の構造を持つ。

${\displaystyle I}${\displaystyle I} を余代数 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} の部分ベクトル空間とする。${\displaystyle I}${\displaystyle I} が余イデアル(coideal)であるとは

${\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,}${\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,}

${\displaystyle \varepsilon (I)=0}${\displaystyle \varepsilon (I)=0}

を満たすことをいう。このとき商 ${\displaystyle C/I}${\displaystyle C/I} は余代数の構造を持つ。

写像 ${\displaystyle \mathrm {tw} }${\displaystyle \mathrm {tw} } を ${\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c}${\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c} で定める。余代数 ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} が余可換であるとは、 ${\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta }${\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta } が成り立つことをいう。ここで新しい余積を ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}}${\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}} によって定めると、${\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )} は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと ${\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }}${\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }} となることは同値である。

${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数とする。${\displaystyle c\in C}${\displaystyle c\in C} とすると、余積は

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

${\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}${\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

${\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad }${\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad }(余結合律)

${\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad }${\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad }(余単位律)

• ${\displaystyle S}${\displaystyle S} を空でない任意の集合、${\displaystyle kS}${\displaystyle kS} を ${\displaystyle S}${\displaystyle S} の元を基底とした ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-ベクトル空間とする。任意の ${\displaystyle s\in S}${\displaystyle s\in S} に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1}${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1}

で定めると、${\displaystyle (kS,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (kS,\Delta ,\varepsilon )} は ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-余代数の構造を持つ。

• ${\displaystyle H}${\displaystyle H} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-ベクトル空間、${\displaystyle \{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}${\displaystyle \{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}} をその基底とする。任意の ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}${\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}

で定めると、${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} は ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

• ${\displaystyle M_{n}(K)}${\displaystyle M_{n}(K)} を ${\displaystyle n^{2}}${\displaystyle n^{2}} 次元 ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-ベクトル空間、${\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}}${\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}} をその基底とする。余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}${\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}

によって定めると ${\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )} は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

• ${\displaystyle (P,\leq )}${\displaystyle (P,\leq )} を局所有限半順序集合とする。${\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}}${\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}} として ${\displaystyle V}${\displaystyle V} を ${\displaystyle T}${\displaystyle T} の元全体を基底として持つ ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-ベクトル空間とする。任意の ${\displaystyle (x,y)\in T}${\displaystyle (x,y)\in T} に対して余積と余単位を

${\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}${\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}

で定めると ${\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となる。

• ${\displaystyle C}${\displaystyle C} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-ベクトル空間とし、その基底を ${\displaystyle \{s,c\}}${\displaystyle \{s,c\}} とする。余積と余単位を

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}

で定めると ${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}${\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

${\displaystyle C}${\displaystyle C} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-余代数、${\displaystyle A}${\displaystyle A} を ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-代数、とする。ここで${\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)}${\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)} の積を${\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta }${\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta }、即ち任意の ${\displaystyle c\in C}${\displaystyle c\in C}に対して

${\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}${\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}

で定める。${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } が余結合的であることから積 ${\displaystyle \ast }${\displaystyle \ast } は結合的であることがわかる。この積によって ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }}${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }} は ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-代数となり、${\displaystyle C}${\displaystyle C} の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

${\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}${\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}

で与えられる。また${\displaystyle C}${\displaystyle C} が余可換であることと、全ての可換な ${\displaystyle A}${\displaystyle A} に対して ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)}${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)} が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。${\displaystyle A}${\displaystyle A} を有限 ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-次元代数とすると、準同型写像

${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}

が存在して ${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }}${\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }} となる。積と単位の双対

${\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に ${\displaystyle A}${\displaystyle A} が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

• Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press 
• Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin 
• Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker 

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