現在価値

現在価値(げんざいかち)とは、発生の時期を異にする貨幣価値を比較可能にするために、金融用語では将来の価値を一定の割引率(discount rate)を使って現在時点まで割り戻した価値である。

割引率が年5パーセントのとき、1年後の1万円は、現在の 10000/1.05 = 9524 円に値する。これを「1年後の1万円の現在価値は9524円である」という。2年後の1万円の現在価値は、10000/1.05² = 9070 円である。一般に年割引率がi であるとき、t 年後のR 円の現在価値は、R /(1+i ) ^t によって与えられる。このときの 1/(1+i ) ^t を割引因子 (英語版)という。

T年間に渡り各年でキャッシュフロー R_i を発生させる資産があった場合、その現在価値は次になる。

${\displaystyle NPV={\frac {R_{1}}{1+i}}+{\frac {R_{2}}{(1+i)^{2}}}+\cdots +{\frac {R_{T}}{(1+i)^{T}}}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}${\displaystyle NPV={\frac {R_{1}}{1+i}}+{\frac {R_{2}}{(1+i)^{2}}}+\cdots +{\frac {R_{T}}{(1+i)^{T}}}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {R_{t}}{(1+i)^{t}}}}

上記は、現在のP 円が年利i の1年複利でt 年後にP (1+i ) ^t 円に増殖することに対応している。もしも半年複利なら、これはt 年後にP (1+i /2) ^2t に増殖する。4ヶ月複利なら、t 年後にはP (1+i /3) ^3t に増える。一般に、1/n 年複利なら、t 年後の価値はP (1+i /n ) ^{n t} となり、n を限りなく大きくしていくと、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{nt}=P\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{n/i}\right]^{it}=Pe^{it}}${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{nt}=P\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{n/i}\right]^{it}=Pe^{it}}

となる。したがって、時間を離散的でなく連続的にとり、単位時間当たりの割引率をi とすると、時点t における価値P の現在価値は、P e^{−i t} と書ける。

• 割引現在価値

• 数理ファイナンス

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