フリードリヒの不等式

数学におけるフリードリヒの不等式(フリードリヒのふとうしき、英: Friedrichs' inequality)とは、カート・フリードリヒ (英語版)による函数解析学の一定理である。函数の弱微分に対する L^p 評価と、その定義域の形状を利用することで、その函数のL^p ノルムに対する評価を与えるものである。ソボレフ空間上のいくつかのノルムが同値であることを示すために利用することが出来る。

Ω はユークリッド空間 Rⁿ の有界部分集合で、その径は d とする。u : Ω → R はソボレフ空間 ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )} に属するものとする(すなわち、u は W^k,p(Ω) に属し、そのトレースはゼロ)。このとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}

この評価式において

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}} はL^p ノルムを表す;
• α = (α₁, ..., α_n) は多重指数で、そのノルムは |α| = α₁ + ... + α_n である;
• D^αu は次の混合偏導函数である。

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}

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