ブラウン運動

ブラウン運動(ブラウンうんどう、英語: Brownian motion)とは、液体のような溶媒中(媒質としては気体、固体もあり得る)に浮遊する微粒子(例:コロイド)が、不規則(ランダム)に運動する現象である。1827年(1828年という記述もあり^[1] )、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見し^[2] 、論文「植物の花粉に含まれている微粒子について」で発表した。

長い間原因が不明のままであったが、1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされる現象であるとして説明する理論が発表された(この成果より、当時認められていなかった原子および分子の存在が初めて具体的に確認された)^[3] 。

ブラウン運動はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音 ^{[4] [5]} (ランジュバン方程式)や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動(気体分子による)などもブラウン運動の範疇として説明される。

ブラウン運動について以下の式が成り立っている。

ここで、上式左辺は、ブラウン運動する物体の平衡位置x₀ からのずれの2乗の平均である(系は1次元とする)。R は気体定数、T は絶対温度、f は易動度(媒質の粘性に関係し、ブラウン運動する物体の速度をv とすると、fv はその速度に比例する抵抗力となる)、t は十分経過した時間(極限としては、t → ∞)である。そして、N_A がアボガドロ定数である。アボガドロ定数以外は、観測によって求められる量であり、フランスの物理化学者ジャン・ペランが、N_A = 6.5 ×ばつ 10²³(資料により値が異なる)という値を得ている^[6] 。

水中で浸透圧により破裂した花粉から流出した微粒子ではなく、花粉そのものがブラウン運動すると間違われることがある。一般書などに限らず、高名な学者や学術書や教科書にも見られた。最近でもマスコミの記事や、インターネット上の検索サイトで検索すると大学のウェブ上のアインシュタインの業績説明は誤ったままの説明になっていることが多い。

1905年のアインシュタインの論文^[7] によって、ブラウン運動は原子の存在を明白に証拠付ける事実となった。その内容を要約すると以下のようになる^[1] 。

1. 微粒子が時刻t に位置x にいる確率密度ρ(x , t ) は次の拡散方程式を満たす:

   ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}}${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}}

2. 拡散係数D は、微粒子の直径a 、溶媒の粘性μを用いて

   ${\displaystyle D={\frac {RT}{N_{A}}}{\frac {1}{6\pi \mu a}}}${\displaystyle D={\frac {RT}{N_{A}}}{\frac {1}{6\pi \mu a}}}

   と表される。ブラウン運動の原子論的描像は、この式の導出の際に用いられている。

3. 平均二乗変位は拡散係数を用いて表される。

   ${\displaystyle \left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}\rho (x,t)dx=2Dt}${\displaystyle \left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}\rho (x,t)dx=2Dt}

4. 以上から、平均変位λ

   ${\displaystyle \lambda =\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle ^{1/2}}${\displaystyle \lambda =\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle ^{1/2}}

   が求められ、実験観測により検証できる。

ブラウン運動の数学的に厳密なモデルとして、ノーバート・ウィーナーの名を冠してウィーナー過程と呼ばれる連続型確率過程がある。ウィーナー過程は離散型である乱歩の極限となる確率過程として確率論、確率解析において非常に重要な概念である。ウィーナー過程のランダムさは、ブラウン運動のモデルに相応しく至る所通常の意味では微分不可能なほどであるが、その軌跡(サンプルパス)は連続性を持ち、ある種の測度としてウィーナー過程の存在を肯定する。そしてこれが微分(殊に二次の微分)によってある種の無限小余剰項を生むという規約を設けた(伊藤清による伊藤型やルスラン・ストラトノビッチ (英語版)によるストラトノヴィッチ型などの規約がよく知られる)特別の微分(確率微分)を考えることにより、確率積分などの概念が定式化され、確率解析と呼ばれる一分野が展開される。非常に多くの粒子の影響がブラウン運動の不規則さを生むという考え方は、やはり多数の原因によって複雑な変動を示す株取引などの経済活動などにも応用することができるため、ウィーナー過程や確率微分を応用した確率解析は、金融工学などの分野でも盛んに用いられている^[2] 。

簡単のため1次元ウィーナー過程について述べる。

定義

確率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}上で定義された連続な確率過程 ${\displaystyle W(t)}${\displaystyle W(t)} で次の性質を満たすものをウィーナー過程という。

1. 任意の${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}に対し、${\displaystyle W(t_{1})-W(0),\ W(t_{2})-W(t_{1}),\ \dots ,W(t_{n})-W(t_{n-1})}${\displaystyle W(t_{1})-W(0),\ W(t_{2})-W(t_{1}),\ \dots ,W(t_{n})-W(t_{n-1})} は独立。
2. 任意の${\displaystyle t\geq s}${\displaystyle t\geq s}に対し、${\displaystyle W(t)-W(s)}${\displaystyle W(t)-W(s)}は正規分布 ${\displaystyle N(0,t-s)}${\displaystyle N(0,t-s)}に従う。

(注意)数学的にはこのような確率過程が存在することは決して自明ではなく、証明が必要である。

性質

• サンプルパスは確率 1 で微分不可能である。すなわち、ブラウン運動は非常にギザギザな曲線となるのである。
• ${\displaystyle W(t)^{2}-t}${\displaystyle W(t)^{2}-t}はマルチンゲールとなる。これはブラウン運動に関する確率積分を考える際の非常に重要な性質である。

1. ^ ^{a b} 中嶋英雄『材料における拡散』内田老鶴圃、2009年、17-21頁。ISBN 978-4-7536-5637-0。 
2. ^ ^{a b} 有馬秀次 ウィーナー過程とブラウン運動
3. ^ 田崎清明 ブラウン運動と非平衡統計力学
4. ^ ブラウン運動
5. ^ ブラウン運動 抵抗の熱雑音
6. ^ Brownian Motion and Molecular Reality
7. ^ A. Einstein: Annalen der Physik. 17 (1905) 549.

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