「ウィーンの変位則」の版間の差分

ヴィーンの変位則(―のへんいそく、Wien's displacement law)とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則とよばれることも多い。

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }={\frac {0.002898}{T}}}${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }={\frac {0.002898}{T}}}

ここで${\displaystyle T}${\displaystyle T}は黒体の温度(K)、${\displaystyle \lambda _{\mbox{max}}}${\displaystyle \lambda _{\mbox{max}}} はピーク波長(m)、0.002898 が比例定数である。CGS単位系では 0.29 cm·K である。

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる。(色温度)

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。.

黒体輻射のプランクの式は

${\displaystyle u(\lambda )={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}},円{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}${\displaystyle u(\lambda )={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}},円{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}

波長${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda }の最大値を求めるために、波長分布 ${\displaystyle u(\lambda )}${\displaystyle u(\lambda )}を${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda }で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

${\displaystyle \partial _{\lambda }u(\lambda )=8\pi hc\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0}${\displaystyle \partial _{\lambda }u(\lambda )=8\pi hc\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0}

${\displaystyle {\frac {hc}{\lambda kT}},円{\frac {1}{1-e^{-hc/\lambda kT}}}-5=0}${\displaystyle {\frac {hc}{\lambda kT}},円{\frac {1}{1-e^{-hc/\lambda kT}}}-5=0}

ここで${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT}}${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT}}とすると、

${\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}${\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}

この方程式は解析的には解けないが、ランベルトのW関数を用いて、

${\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5}${\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5}

と表現することができる。これを数値計算すると、x は

${\displaystyle x\approx 4.965114231744276}${\displaystyle x\approx 4.965114231744276}

となる。x から${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda }を求めると、

${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{kx}}{1 \over T}={0.00289776829 \over T}}${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{kx}}{1 \over T}={0.00289776829 \over T}}

となる。

なお、振動数で表示されたプランクの公式

${\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}${\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、${\displaystyle x\equiv {h\nu /kT}}${\displaystyle x\equiv {h\nu /kT}}は

${\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}${\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}

を満たすものであり、やはり解析的には解けないが、数値計算により

${\displaystyle x\approx 2.8214}${\displaystyle x\approx 2.8214}

したがってピークにおける振動数は

${\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {kx}{h}}T=5.8789\times 10^{10}T}${\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {kx}{h}}T=5.8789\times 10^{10}T}

となる。${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\cdot \nu _{\mathrm {max} }=c}${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\cdot \nu _{\mathrm {max} }=c}ではないことに注意が必要である。

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