Oct 9, 2024 · Sep 24, 2024 · Sep 25, 2024 · Sep 25, 2024 · Oct 9, 2024 · Oct 9, 2024
diff --git a/problems/0459.重复的子字符串.md b/problems/0459.重复的子字符串.md
diff --git a/problems/0518.零钱兑换II.md b/problems/0518.零钱兑换II.md
Original file line number	Diff line number	Diff line change
Expand Up		@@ -64,7 +64,7 @@

		如果有一个字符串s,在 s + s 拼接后, 不算首尾字符,如果能凑成s字符串,说明s 一定是重复子串组成。

	如图,字符串s,图中数字为数组下标,在 s + s 拼接后, 不算首尾字符,中间凑成s字符串。
	如图,字符串s,图中数字为数组下标,在 s + s 拼接后, 不算首尾字符,中间凑成s字符串。 (图中数字为数组下标)

		![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240910115555.png)

Expand Down Expand Up		@@ -163,9 +163,7 @@ KMP算法中next数组为什么遇到字符不匹配的时候可以找到上一

		如果一个字符串s是由重复子串组成,那么最长相等前后缀不包含的子串一定是字符串s的最小重复子串。

	证明: 如果s 是有是有最小重复子串p组成。

	即 s = n * p
	如果s 是由最小重复子串p组成,即 s = n * p

		那么相同前后缀可以是这样:

Expand Down Expand Up		@@ -203,12 +201,14 @@ p2 = p1,p3 = p2 即: p1 = p2 = p3

		最长相等前后缀不包含的子串已经是字符串s的最小重复子串,那么字符串s一定由重复子串组成,这个不需要证明了。

	关键是要要证明:最长相等前后缀不包含的子串什么时候才是字符串s的最小重复子串呢。
	关键是要证明:最长相等前后缀不包含的子串什么时候才是字符串s的最小重复子串呢。

	情况一, 最长相等前后缀不包含的子串的长度比字符串s的一半的长度还大,那一定不是字符串s的重复子串
	情况一, 最长相等前后缀不包含的子串的长度比字符串s的一半的长度还大,那一定不是字符串s的重复子串,如图:

		![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240911110236.png)

	图中:前后缀不包含的子串的长度大于字符串s的长度的二分之一

		--------------

		情况二,最长相等前后缀不包含的子串的长度可以被字符串s的长度整除,如图:
Expand All		@@ -230,7 +230,7 @@ p2 = p1,p3 = p2 即: p1 = p2 = p3
		即 s[0]s[1] 是最小重复子串


	以上推导中,录友可能想,你怎么知道 s[0] 和 s[1] 就不相同呢? s[0] 为什么就不能使最小重复子串。
	以上推导中,录友可能想,你怎么知道 s[0] 和 s[1] 就不相同呢? s[0] 为什么就不能是最小重复子串。

		如果 s[0] 和 s[1] 也相同,同时 s[0]s[1]与s[2]s[3]相同,s[2]s[3] 与 s[4]s[5]相同,s[4]s[5] 与 s[6]s[7] 相同,那么这个字符串就是有一个字符构成的字符串。

Expand All		@@ -246,7 +246,7 @@ p2 = p1,p3 = p2 即: p1 = p2 = p3

		或者说,自己举个例子,`aaaaaa`,这个字符串,他的最长相等前后缀是什么?

	同上以上推导,最长相等前后缀不包含的子串的长度只要被字符串s的长度整除,就是一定是最小重复子串。
	同上以上推导,最长相等前后缀不包含的子串的长度只要被字符串s的长度整除,最长相等前后缀不包含的子串一定是最小重复子串。

		----------------

Expand All		@@ -267,7 +267,7 @@ p2 = p1,p3 = p2 即: p1 = p2 = p3

		以上推导,可以得出 s[0],s[1],s[2] 与 s[3],s[4],s[5] 相同,s[3]s[4] 与 s[6]s[7]相同。

	那么最长相等前后缀不包含的子串的长度不被字符串s的长度整除 ,就不是s的重复子串
	那么最长相等前后缀不包含的子串的长度不被字符串s的长度整除 ,最长相等前后缀不包含的子串就不是s的重复子串

		-----------

Expand All		@@ -277,7 +277,7 @@ p2 = p1,p3 = p2 即: p1 = p2 = p3

		在必要条件,这个是显而易见的,都已经假设最长相等前后缀不包含的子串是 s的最小重复子串了,那s必然是重复子串。

	关键是需要证明, 字符串s的最长相等前后缀不包含的子串什么时候才是 s最小重复子串。
	关键是需要证明, 字符串s的最长相等前后缀不包含的子串什么时候才是 s最小重复子串。

		同上我们证明了,当最长相等前后缀不包含的子串的长度可以被字符串s的长度整除,那么不包含的子串就是s的最小重复子串。

Expand Down Expand Up		@@ -312,7 +312,7 @@ next 数组记录的就是最长相同前后缀( [字符串:KMP算法精讲]

		4可以被 12(字符串的长度) 整除,所以说明有重复的子字符串(asdf)。

	### 打码实现
	### 代码实现

		C++代码如下:(这里使用了前缀表统一减一的实现方式)

Expand Down
Original file line number	Diff line number	Diff line change
Expand Up		@@ -168,23 +168,43 @@ for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
		class Solution {
		public:
		int change(int amount, vector<int>& coins) {
	vector<int> dp(amount + 1, 0);
	dp[0] = 1;
	vector<uint64_t> dp(amount + 1, 0); // 防止相加数据超int
	dp[0] = 1; // 只有一种方式达到0
		for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
		for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
		dp[j] += dp[j - coins[i]];
		}
		}
	return dp[amount];
	return dp[amount]; // 返回组合数
		}
		};
		```

	C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

		* 时间复杂度: O(mn),其中 m 是amount,n 是 coins 的长度
		* 空间复杂度: O(m)

	为了防止相加的数据超int 也可以这么写:

	```CPP
	class Solution {
	public:
	int change(int amount, vector<int>& coins) {
	vector<int> dp(amount + 1, 0);
	dp[0] = 1; // 只有一种方式达到0
	for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
	for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
	if (dp[j] < INT_MAX - dp[j - coins[i]]) { //防止相加数据超int
	dp[j] += dp[j - coins[i]];
	}
	}
	}
	return dp[amount]; // 返回组合数
	}
	};
	```

	是不是发现代码如此精简

		## 总结

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