[pull] main from itcharge:main #74

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		###### 1137. 第 N 个泰波那契数、0650. 只有两个键的键盘、0264. 丑数 II、0279. 完全平方数、0343. 整数拆分

	### [背包问题题目](../../Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/05.Knapsack-Problem-List.md)
	### [背包问题题目](../../Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/06.Knapsack-Problem-List.md)

		#### 0-1 背包问题

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3 changes: 2 additions & 1 deletion Assets/Origins/README-Catalogue-List.md

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Expand Up		@@ -191,7 +191,8 @@
		- [背包问题知识(二)](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/02.Knapsack-Problem-02.md)
		- [背包问题知识(三)](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/03.Knapsack-Problem-03.md)
		- [背包问题知识(四)](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/04.Knapsack-Problem-04.md)
	- [背包问题题目](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/05.Knapsack-Problem-List.md)
	- [背包问题知识(五)](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/05.Knapsack-Problem-05.md)
	- [背包问题题目](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/06.Knapsack-Problem-List.md)
		- 区间 DP
		- [区间 DP 知识](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/05.Interval-DP/01.Interval-DP.md)
		- [区间 DP 题目](https://github.com/itcharge/LeetCode-Py/blob/main/Contents/10.Dynamic-Programming/05.Interval-DP/02.Interval-DP-List.md)
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Expand Up		@@ -56,8 +56,8 @@ $dp[i][w] = \begin{cases} dp[i - 1][w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrace dp[i

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 件物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0,0 \le i \le size$。
	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 件物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -128,7 +128,7 @@ $dp[w] = \begin{cases} dp[w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrace dp[w], dp[w - w

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -222,7 +222,7 @@ $dp[w] = \begin{cases} dp[w] & w < nums[i - 1] \cr max \lbrace dp[w], \quad dp[w

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么元素,可以获得的元素和一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -266,3 +266,5 @@ class Solution:

		- 【资料】[背包九讲 - 崔添翼](https://github.com/tianyicui/pack)
		- 【文章】[背包 DP - OI Wiki](https://oi-wiki.org/dp/knapsack/)
	- 【文章】[背包问题第四讲 - 宫水三叶的刷题日记](https://juejin.cn/post/7003243733604892685)
	- 【文章】[Massive Algorithms: 讲透完全背包算法](https://massivealgorithms.blogspot.com/2015/06/unbounded-knapsack-problem.html)

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Expand Up		@@ -40,8 +40,8 @@ $dp[i][w] = max \lbrace dp[i - 1][w - k \times weight[i - 1]] + k \times value[i

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0,0 \le i \le size$。
	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -133,8 +133,8 @@ $\quad dp[i][w] = \begin{cases} dp[i - 1][w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrac

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0,0 \le i \le size$。
	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -201,7 +201,7 @@ $dp[w] = \begin{cases} dp[w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrace dp[w], \quad d

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -300,11 +300,15 @@ $dp[c] = \begin{cases} dp[c] & c < coins[i - 1] \cr min \lbrace dp[c], dp[c - co
		###### 4. 初始条件

		- 凑成总金额为 0ドル$ 的最少硬币数量为 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 默认凑成总金额为 $w$ 的最少硬币数量为一个极大值(比如 $amount + 1$),表示无法凑成。

		###### 5. 最终结果

		根据我们之前定义的状态,$dp[c]$ 表示为:凑成总金额为 $c$ 的最少硬币数量。则最终结果为 $dp[amount]$。

	1. 如果 $dp[amount] \ne amount + 1,ドル则说明: $dp[amount]$ 为凑成金额 $amount$ 的最少硬币数量,则返回 $dp[amount]$。
	2. 如果 $dp[amount] = amount + 1,ドル则说明:无法凑成金额 $amount,ドル则返回 $-1$。

		##### 思路 1:代码

		```Python
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Expand Up		@@ -26,8 +26,8 @@ $dp[i][w] = max \lbrace dp[i - 1][w - k \times weight[i - 1]] + k \times value[i

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0,0 \le i \le size$。
	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -83,7 +83,7 @@ $dp[w] = max \lbrace dp[w - k \times weight[i - 1]] + k \times value[i - 1] \rbr

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -159,7 +159,7 @@ $dp[w] = max \lbrace dp[w - weight \underline{ } new[i - 1]] + value \underline{

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

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		@@ -1,10 +1,88 @@


	## 5. 分组背包问题
	## 5. 混合背包问题

	> 混合背包问题:有 $n$ 种物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 种物品的重量为 $weight[i],ドル价值为 $value[i],ドル件数为 $count[i]$。其中:
	>
	> 1. 当 $count[i] = -1$ 时,代表该物品只有 1ドル$ 件。
	> 2. 当 $count[i] = 0$ 时,代表该物品有无限件。
	> 3. 当 $count[i] > 0$ 时,代表该物品有 $count[i]$ 件。
	>
	> 请问在总重量不超过背包载重上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?

	#### 思路 1:动态规划

	混合背包问题其实就是将「0-1 背包问题」、「完全背包问题」和「多重背包问题」这 3ドル$ 种背包问题综合起来,有的是能取 1ドル$ 件,有的能取无数件,有的只能取 $count[i]$ 件。

	其实只要理解了之前讲解的这 3ドル$ 种背包问题的核心思想,只要将其合并在一起就可以了。

	并且在「多重背包问题」中,我们曾经使用「二进制优化」的方式,将「多重背包问题」转换为「0-1 背包问题」,那么在解决「混合背包问题」时,我们也可以先将「多重背包问题」转换为「0-1 背包问题」,然后直接再区分是「0-1 背包问题」还是「完全背包问题」就可以了。

	#### 思路 1:代码

	```Python
	class Solution:
	def mixedPackMethod1(self, weight: [int], value: [int], count: [int], W: int):
	weight_new, value_new, count_new = [], [], []

	# 二进制优化
	for i in range(len(weight)):
	cnt = count[i]
	# 多重背包问题,转为 0-1 背包问题
	if cnt > 0:
	k = 1
	while k <= cnt:
	cnt -= k
	weight_new.append(weight[i] * k)
	value_new.append(value[i] * k)
	count_new.append(1)
	k *= 2
	if cnt > 0:
	weight_new.append(weight[i] * cnt)
	value_new.append(value[i] * cnt)
	count_new.append(1)
	# 0-1 背包问题,直接添加
	elif cnt == -1:
	weight_new.append(weight[i])
	value_new.append(value[i])
	count_new.append(1)
	# 完全背包问题,标记并添加
	else:
	weight_new.append(weight[i])
	value_new.append(value[i])
	count_new.append(0)

	dp = [0 for _ in range(W + 1)]
	size = len(weight_new)

	# 枚举前 i 种物品
	for i in range(1, size + 1):
	# 0-1 背包问题
	if count_new[i - 1] == 1:
	# 逆序枚举背包装载重量(避免状态值错误)
	for w in range(W, weight_new[i - 1] - 1, -1):
	# dp[w] 取「前 i - 1 件物品装入载重为 w 的背包中的最大价值」与「前 i - 1 件物品装入载重为 w - weight_new[i - 1] 的背包中,再装入第 i - 1 物品所得的最大价值」两者中的最大值
	dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight_new[i - 1]] + value_new[i - 1])
	# 完全背包问题
	else:
	# 正序枚举背包装载重量
	for w in range(weight_new[i - 1], W + 1):
	# dp[w] 取「前 i - 1 种物品装入载重为 w 的背包中的最大价值」与「前 i 种物品装入载重为 w - weight[i - 1] 的背包中,再装入 1 件第 i - 1 种物品所得的最大价值」两者中的最大值
	dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight_new[i - 1]] + value_new[i - 1])

	return dp[W]
	```

	#### 思路 1:复杂度分析

	- 时间复杂度:$O(W \times \sum \log_2{count[i]}),ドル其中 $W$ 为背包的载重上限,$count[i]$ 是第 $i$ 种物品的数量。
	- 空间复杂度:$O(W)$。

	## 6. 分组背包问题

		> 分组背包问题:有 $n$ 组物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 组物品的件数为 $group\underline{}count[i],ドル第 $i$ 组的第 $j$ 个物品重量为 $weight[i][j],ドル价值为 $value[i][j]$。每组物品中最多只能选择 1ドル$ 件物品装入背包。请问在总重量不超过背包载重上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?

	### 5.1 分组背包问题基本思路
	### 6.1 分组背包问题基本思路

		#### 思路 1:动态规划 + 二维基本思路

Expand Down Expand Up		@@ -34,8 +112,8 @@ $dp[i][w] = max \lbrace dp[i - 1][w],dp[i - 1][w - weight[i - 1][k]] + value[i

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 组物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0,0 \le i \le size$。
	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 组物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -67,7 +145,7 @@ class Solution:
		- 时间复杂度:$O(n \times W \times C),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$C$ 是每组物品的数量。因为 $n \times C = \sum group\underline{}count[i],ドル所以时间复杂度也可以写成 $O(W \times \sum group\underline{}count[i])$。
		- 空间复杂度:$O(n \times W)$。

	### 5.2 分组背包问题滚动数组优化
	### 6.2 分组背包问题滚动数组优化

		#### 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化

Expand All		@@ -85,7 +163,7 @@ $dp[w] = max \lbrace dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k] \r

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
	- 无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w] = 0,0 \le w \le W$。

		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -118,11 +196,11 @@ class Solution:
		- 时间复杂度:$O(n \times W \times C),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$C$ 是每组物品的数量。因为 $n \times C = \sum group\underline{}count[i],ドル所以时间复杂度也可以写成 $O(W \times \sum group\underline{}count[i])$。
		- 空间复杂度:$O(W)$。

	## 6. 二维费用背包问题
	## 7. 二维费用背包问题

		> 二维费用背包问题:有 $n$ 件物品和有一个最多能装重量为 $W$、容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 件物品的重量为 $weight[i],ドル体积为 $volume[i],ドル价值为 $value[i],ドル每件物品有且只有 1ドル$ 件。请问在总重量不超过背包载重上限、容量上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?

	### 6.1 二维费用背包问题基本思路
	### 7.1 二维费用背包问题基本思路

		我们可以参考「0-1 背包问题」的状态定义和基本思路,在「0-1 背包问题」基本思路的基础上,增加一个维度用于表示物品的容量。

Expand All		@@ -144,8 +222,13 @@ $dp[i][w][v] = max(dp[i - 1][w][v], dp[i - 1][w - weight[i - 1]][v - volume[i -

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0][v] = 0,dp[i][w][0] = 0$。
	- 前 0ドル$ 组物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w][v] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即:
	- $dp[i][w][0] = 0,0 \le i \le size,0 \le w \le W$
	- $dp[i][0][v] = 0,0 \le i \le size,0 \le v \le V$

	- 无论背包载重上限是多少,前 0ドル$ 种物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即:
	- $dp[0][w][v] = 0,0 \le w \le W,0 \le v \le V$


		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -182,7 +265,7 @@ class Solution:
		- 时间复杂度:$O(n \times W \times V),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
		- 空间复杂度:$O(n \times W \times V)$。

	### 6.2 二维费用背包问题滚动数组优化
	### 7.2 二维费用背包问题滚动数组优化

		#### 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化

Expand All		@@ -200,7 +283,10 @@ $dp[w][v] = max \lbrace dp[w][v], \quad dp[w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]]

		###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w][0] = 0,dp[0][v] = 0$。
	- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即:
	- $dp[w][0] = 0,0 \le w \le W$
	- $dp[0][v] = 0,0 \le v \le V$


		###### 5. 最终结果

Expand Down Expand Up		@@ -232,59 +318,9 @@ class Solution:
		- 时间复杂度:$O(n \times W \times V),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
		- 空间复杂度:$O(W \times V)$。

	## 7. 背包问题变种

	### 7.1 背包问题求方案总数

	> 背包问题求方案数:在给定背包重量 $W,ドル每件物品重量 $weight[i],ドル物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题中。求解出装满背包或将背包装至某一指定重量的方案总数。

	这种问题就是将原有状态转移方程中的「求最大值」变为「求和」即可。我们以「完全背包问题」求解方案总数为例。

	> 完全背包问题求解方案数:有 $n$ 种物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 种物品的重量为 $weight[i],ドル价值为 $value[i],ドル每种物品数量没有限制。请问装满重量为 $W$ 的背包,一共有多少种方案。

	如果使用二维状态定义,可定义状态 $dp[i][w]$ 为:前 $i$ 种物品放入一个最多能装重量为 $w$ 的背包中,一共有多少种方案。

	则状态转移方程为:$dp[i][w] = sum(dp[i - 1][w], \quad dp[i][w - weight[i - 1]])$。

	如果进行滚动数组优化中,使用一位状态定义,可定义状态 $dp[w]$ 为:装满重量为 $w$ 的背包的方案总数。则状态转移方程为:$dp[w] = sum(dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1]])$。

	###### 1. 划分阶段

	按照物品种类的序号、当前背包的载重上限进行阶段划分。

	###### 2. 定义状态

	定义状态 $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中的方案总数。

	###### 3. 状态转移方程

	$dp[w] = sum \lbrace dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1]] \rbrace $

	###### 4. 初始条件

	- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则一共有 1ドル$ 种方案(什么也不装),即 $dp[0] = 1$。

	###### 5. 最终结果

	根据我们之前定义的状态, $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中的方案总数。则最终结果为 $dp[W],ドル其中 $W$ 为背包的载重上限。

	#### 思路 1:代码

	```Python

	```

	#### 思路 1:复杂度分析

	- 时间复杂度:$O(n \times W),ドル其中 $n$ 为物品种类数量,$W$ 为背包的载重上限。
	- 空间复杂度:$O(W)$。

	### 7.2 背包问题求最优方案数

	### 7.3 背包问题输出方案

		## 参考资料

		- 【资料】[背包九讲 - 崔添翼](https://github.com/tianyicui/pack)
		- 【文章】[背包 DP - OI Wiki](https://oi-wiki.org/dp/knapsack/)
	- 【文章】[【动态规划/背包问题】分组背包问题](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4NDE3MTEyMA==&mid=2247487504&idx=1&sn=9ac523ec0ac14c8634a229f8c3f919d7&chksm=fd9cbb0fcaeb32196b80a40e4408f6a7e2651167e0b9e31aa6d7c6109fbc2117340a59db12a1&scene=178&cur_album_id=1751702161341628417#rd)
	- 【文章】[【动态规划/背包问题】分组背包问题](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4NDE3MTEyMA==&mid=2247487504&idx=1&sn=9ac523ec0ac14c8634a229f8c3f919d7&chksm=fd9cbb0fcaeb32196b80a40e4408f6a7e2651167e0b9e31aa6d7c6109fbc2117340a59db12a1&token=1936267333&lang=zh_CN&scene=21#wechat_redirect)
	- 【文章】[【动态规划/背包问题】背包问题第一阶段最终章:混合背包问题](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4NDE3MTEyMA==&mid=2247487034&idx=1&sn=eaa05b76387d34aa77f7f14f35fa78a4&chksm=fd9ca525caeb2c33095d285222dcee0dd072465bf7288bda0aab39e90a04bb7b1af018b89fd4&token=1872331648&lang=zh_CN&scene=21#wechat_redirect)

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