DTIME

En théorie de la complexité, DTIME (ou TIME) désigne une famille de classes de complexité caractérisée par leur complexité en temps sur une machine de Turing déterministe.

Plus précisément, ${\mathsf {DTIME}}(f(n))$ {\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))} est la classe des problèmes de décision qui, pour une entrée de taille $n$ {\displaystyle n}, peuvent être résolus en temps ${\mathcal {O}}(f(n))$ {\displaystyle {\mathcal {O}}(f(n))} par une machine de Turing déterministe.

Définitions

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La classe P des problèmes de décision décidables par une machine de Turing déterministe en temps polynomial par rapport à la taille de l'entrée peut être définie comme :

{\mathsf {P}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}(n^{k})

{\displaystyle {\mathsf {P}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}(n^{k})}

De même, la classe EXPTIME des problèmes de décision décidable en temps exponentiel est définie comme :

{\mathsf {EXPTIME}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}\left(2^{n^{k}}\right)

{\displaystyle {\mathsf {EXPTIME}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {DTIME}}\left(2^{n^{k}}\right)}

Hiérarchie en temps

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Informellement, le théorème de hiérarchie en temps déterministe indique que disposer de plus de temps permet de décider davantage de problèmes. Plus précisément, pour toutes fonctions $f$ {\displaystyle f} et $g$ {\displaystyle g} telles que $f\log f=o(g)$ {\displaystyle f\log f=o(g)} et $g$ {\displaystyle g} est constructible en temps, l'inclusion stricte suivante est vérifiée :

{\mathsf {DTIME}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {DTIME}}(g(n))

{\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {DTIME}}(g(n))}

Liens avec d'autres classes

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Les classes DTIME sont reliées aux classes de complexité en espace DSPACE et NSPACE par les inclusions suivantes, pour toute fonction $f$ {\displaystyle f} constructible en espace :

{\mathsf {DTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)

{\displaystyle {\mathsf {DTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)}

Bibliographie

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(en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach, Cambridge University Press, 20 avril 2009, 579 p. (ISBN 978-0-521-42426-4, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Éditions Ellipses, 22 avril 2014, 432 p. (ISBN 978-2-729-88692-9, lire en ligne). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article

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Théorie de la complexité (informatique théorique)

Classes de complexité
(liste)

Classes classiques	L NL P NP NP-complet co-NP co-NP-complet NP-facile PSPACE E EXPTIME NE NEXPTIME EXPSPACE
Classes randomisées et quantiques	RP ZPP BPP EQP BQP QMA IP Protocole Arthur-Merlin PP BPL RL
Autres	P/poly NC APX AC⁰ UP
Classes de fonctions calculables	#-P #-P-complet
Hiérarchies	Hiérarchie polynomiale PH Hiérarchie booléenne
Familles de classes	DTIME NTIME DSPACE NSPACE

Théorèmes et outils

Théorèmes structurels	Théorème de Savitch Théorème d'Immerman-Szelepcsényi Théorème PCP Théorème de Karp-Lipton Théorème de Sipser-Gács-Lautemann Théorème de Toda
Outils et réductions	Théorème d'accélération linéaire Théorème de Cook Réduction polynomiale Kernelisation

Approches non-standard

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