Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl^{[1] [2]} ) ist eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-stellige natürliche Zahl, deren Produkt bei Multiplikation mit einer natürlichen Zahl von 1 bis ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthält.

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist 142857:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}1\cdot 142.857&=&{\mathtt {142.857}}.\2円\cdot 142.857&=&{\mathtt {285.714}}.\3円\cdot 142.857&=&{\mathtt {428.571}}.\4円\cdot 142.857&=&{\mathtt {571.428}}.\5円\cdot 142.857&=&{\mathtt {714.285}}.\6円\cdot 142.857&=&{\mathtt {857.142}}.\7円\cdot 142.857&=&{\mathtt {999.999}}.\\\end{array}}}${\displaystyle {\begin{array}{rrr}1\cdot 142.857&=&{\mathtt {142.857}}.\2円\cdot 142.857&=&{\mathtt {285.714}}.\3円\cdot 142.857&=&{\mathtt {428.571}}.\4円\cdot 142.857&=&{\mathtt {571.428}}.\5円\cdot 142.857&=&{\mathtt {714.285}}.\6円\cdot 142.857&=&{\mathtt {857.142}}.\7円\cdot 142.857&=&{\mathtt {999.999}}.\\\end{array}}}

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857... und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: ${\displaystyle {\overline {142857}}}${\displaystyle {\overline {142857}}}. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 ... (Folge A001913 in OEIS)

Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen ${\displaystyle p}${\displaystyle p}, welche die folgenden Bedingungen erfüllen^[3] :

1. Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von ${\displaystyle p}${\displaystyle p}.

2. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle 0<n<p-1}${\displaystyle 0<n<p-1} ist ${\displaystyle 10^{n}-1}${\displaystyle 10^{n}-1} kein Vielfaches von ${\displaystyle p}${\displaystyle p}.

3. ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilt die Zahl ${\displaystyle 10^{p-1}-1}${\displaystyle 10^{p-1}-1}, das heißt ${\displaystyle 10^{p-1}-1}${\displaystyle 10^{p-1}-1} ist Vielfaches von ${\displaystyle p}${\displaystyle p} bzw. es gilt ${\displaystyle 10^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}${\displaystyle 10^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}.

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige bekannte, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487^{2}}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{487^{2}}}} auch nur so viele Stellen wie die von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{487}}}, eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 ×ばつかける 487 =わ 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.^[4]

Triviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen (${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1}). Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

• Jede nicht-triviale zyklische Zahl (im Dezimalsystem) ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
• Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 ×ばつかける 7 =わ 999999.
• Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142 + 857 = 999 und 14 +たす 28 +たす 57 =わ 99 (Midy's Theorem).^[5] Dafür muss die Gruppenlänge hinreichend groß sein. Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar, so sind für Aufteilungen in eine größere Anzahl an Gruppen keine Neunen-Folge mehr zu erwarten.
• Emil Artin stellte im Jahr 1927 die Vermutung auf, dass der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen gleich der Artin-Konstante C = 0,3739558136192... (Folge A005596 in OEIS) ist. Diese ist über die Lucas-Zahlen mit der Primzetafunktion verknüpft und bestimmbar.

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 22) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 42) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zur Zahlenbasis ${\displaystyle B=2}${\displaystyle B=2} ist für ${\displaystyle p=11}${\displaystyle p=11} die Zahl

${\displaystyle z:={\frac {B^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{10}-1}{11}}={\frac {1023}{11}}=93=0001011101_{2}}${\displaystyle z:={\frac {B^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{10}-1}{11}}={\frac {1023}{11}}=93=0001011101_{2}}

eine zyklische Zahl. Denn es ist:

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}1\cdot 93&=&0001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0001011101}}_{2}.\2円\cdot 93&=&0010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0010111010}}_{2}.\3円\cdot 93&=&0011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0100010111}}_{2}.\4円\cdot 93&=&0100_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0101110100}}_{2}.\5円\cdot 93&=&0101_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0111010001}}_{2}.\6円\cdot 93&=&0110_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1000101110}}_{2}.\7円\cdot 93&=&0111_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1010001011}}_{2}.\8円\cdot 93&=&1000_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1011101000}}_{2}.\9円\cdot 93&=&1001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1101000101}}_{2}.\10円\cdot 93&=&1010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1110100010}}_{2}.\11円\cdot 93&=&1011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1111111111}}_{2}.\end{array}}}${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}1\cdot 93&=&0001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0001011101}}_{2}.\2円\cdot 93&=&0010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0010111010}}_{2}.\3円\cdot 93&=&0011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0100010111}}_{2}.\4円\cdot 93&=&0100_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0101110100}}_{2}.\5円\cdot 93&=&0101_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0111010001}}_{2}.\6円\cdot 93&=&0110_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1000101110}}_{2}.\7円\cdot 93&=&0111_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1010001011}}_{2}.\8円\cdot 93&=&1000_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1011101000}}_{2}.\9円\cdot 93&=&1001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1101000101}}_{2}.\10円\cdot 93&=&1010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1110100010}}_{2}.\11円\cdot 93&=&1011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1111111111}}_{2}.\end{array}}}

Deshalb wird die Primzahl ${\displaystyle p=11}${\displaystyle p=11} eine lange Primzahl im Dualsystem (d. h. zur Basis ${\displaystyle B=2}${\displaystyle B=2}) genannt.

In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen ${\displaystyle z}${\displaystyle z} nach der Formel ${\displaystyle z={\frac {B^{q-1}-1}{q}}}${\displaystyle z={\frac {B^{q-1}-1}{q}}} (mit der Zahlenbasis ${\displaystyle B}${\displaystyle B} und dem Teiler ${\displaystyle q}${\displaystyle q}) darstellen, sofern ${\displaystyle B}${\displaystyle B} und ${\displaystyle q}${\displaystyle q} ( ${\displaystyle 0<q<B}${\displaystyle 0<q<B} ) teilerfremd sind und die Modulzahl (${\displaystyle B}${\displaystyle B} modulo ${\displaystyle q}${\displaystyle q}) nicht ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0}, ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} oder größer ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3} sind. Schöne zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal. Hier ist eine Tabelle aus jüngster Zeit:

1. ${\displaystyle B=5}${\displaystyle B=5}, ${\displaystyle q=3}${\displaystyle q=3}: 13
2. ${\displaystyle B=7}${\displaystyle B=7}, ${\displaystyle q=5}${\displaystyle q=5}: 1254
3. ${\displaystyle B=8}${\displaystyle B=8}, ${\displaystyle q=5}${\displaystyle q=5}: 1463
4. ${\displaystyle B=10}${\displaystyle B=10}, ${\displaystyle q=7}${\displaystyle q=7}: 142857
5. ${\displaystyle B=12}${\displaystyle B=12}, ${\displaystyle q=7}${\displaystyle q=7}: 186A35
6. ${\displaystyle B=13}${\displaystyle B=13}, ${\displaystyle q=11}${\displaystyle q=11}: 12495BA837
7. ${\displaystyle B=20}${\displaystyle B=20}, ${\displaystyle q=17}${\displaystyle q=17}: 13ABF5HCIG984E27
8. ${\displaystyle B=22}${\displaystyle B=22}, ${\displaystyle q=19}${\displaystyle q=19}: 13A95H826KIBCG4DJF
9. ${\displaystyle B=31}${\displaystyle B=31}, ${\displaystyle q=29}${\displaystyle q=29}: 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG
10. ${\displaystyle B=32}${\displaystyle B=32}, ${\displaystyle q=29}${\displaystyle q=29}: 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB
11. ${\displaystyle B=34}${\displaystyle B=34}, ${\displaystyle q=31}${\displaystyle q=31}: 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N
12. ${\displaystyle B=39}${\displaystyle B=39}, ${\displaystyle q=37}${\displaystyle q=37}: 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK
13. ${\displaystyle B=46}${\displaystyle B=46}, ${\displaystyle q=43}${\displaystyle q=43}: 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV
14. ${\displaystyle B=50}${\displaystyle B=50}, ${\displaystyle q=47}${\displaystyle q=47}: 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH
15. ${\displaystyle B=56}${\displaystyle B=56}, ${\displaystyle q=53}${\displaystyle q=53}: 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J
16. ${\displaystyle B=63}${\displaystyle B=63}, ${\displaystyle q=61}${\displaystyle q=61}: 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlW

Dabei werden die Buchstaben A, B, C, ... für die Ziffernwerte 10, 11, 12, ... verwendet sowie a, b, c, ... für die Ziffernwerte 36, 37, 38, ...

• Parasitäre Zahl

• Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
• Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

• Eric W. Weisstein: Cyclic Number. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
2. ↑ Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
3. ↑ Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Factorizations of 11...11 (Repunit). (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive )
5. ↑ Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).

• Zahlentheorie