Zermelosystem

Ein Zermelosystem bezeichnet in der Mengenlehre ein Teilmengensystem und entspringt Ernst Zermelos Beweis des Vergleichbarkeitssatzes.

Eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {T}}} heißt eine Kette von Teilmengen (⊆-Kette), falls: ${\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {T}}:x\subseteq y\lor y\subseteq x}${\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {T}}:x\subseteq y\lor y\subseteq x}

Eine nichtleere Menge ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}${\displaystyle {\mathcal {Z}}} heißt ein Zermelosystem, wenn für alle ⊆-Ketten ${\displaystyle {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {T}}} in ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}${\displaystyle {\mathcal {Z}}} gilt: ${\displaystyle \cup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {Z}}}${\displaystyle \cup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {Z}}}

Sei ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}${\displaystyle {\mathcal {Z}}} ein Zermelosystem, dann heißt ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ein Ziel von ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}${\displaystyle {\mathcal {Z}}}, wenn gilt: ${\displaystyle \forall y\in {\mathcal {Z}},x\neq y\Rightarrow x,円\not \subset ,円y}${\displaystyle \forall y\in {\mathcal {Z}},x\neq y\Rightarrow x,円\not \subset ,円y}

Man kann mithilfe des Auswahlaxioms beweisen, dass ein solches Ziel in jedem Zermelosystem existiert.

• Siehe auch: Mächtigkeit

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Berlin 2004. ISBN 3-540-20401-6

• Mengensystem