Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl ${\displaystyle N}${\displaystyle N} der zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t}${\displaystyle t} noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}}${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}},

wobei ${\displaystyle N_{0}}${\displaystyle N_{0}} die Anzahl der am Anfang (${\displaystyle t=0}${\displaystyle t=0}) vorhandenen Atomkerne und ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich ${\displaystyle N_{0}}${\displaystyle N_{0}} Atomkernen und der Aktivität ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, so gilt für die Anzahl ${\displaystyle N}${\displaystyle N} der in der Zeit ${\displaystyle t}${\displaystyle t} noch nicht zerfallenen Kerne:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit }}A=\lambda \cdot N\\-\lambda \cdot N&={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\\-\lambda \cdot \mathrm {d} t&={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N\\\int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'&=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'\\-\lambda t-(-\lambda \cdot 0)&=\ln(N)-\ln(N_{0})\\-\lambda t&=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\\\mathrm {e} ^{-\lambda t}&={\frac {N}{N_{0}}}\\N(t)&=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit }}A=\lambda \cdot N\\-\lambda \cdot N&={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\\-\lambda \cdot \mathrm {d} t&={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N\\\int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'&=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'\\-\lambda t-(-\lambda \cdot 0)&=\ln(N)-\ln(N_{0})\\-\lambda t&=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\\\mathrm {e} ^{-\lambda t}&={\frac {N}{N_{0}}}\\N(t)&=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}\end{aligned}}}

Nach der Zeit ${\displaystyle t}${\displaystyle t} sind also von ${\displaystyle N_{0}}${\displaystyle N_{0}} Ausgangskernen noch ${\displaystyle N(t)}${\displaystyle N(t)} übrig.

Die Zerfallskonstante ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer ${\displaystyle \tau =1/\lambda }${\displaystyle \tau =1/\lambda }, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor ${\displaystyle \mathrm {e} =2{,}71828\dotso }${\displaystyle \mathrm {e} =2{,}71828\dotso } verringert hat. ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit ${\displaystyle T_{1/2}}${\displaystyle T_{1/2}} nur um den konstanten Faktor ${\displaystyle \ln 2}${\displaystyle \ln 2}:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \cdot \ln 2\approx 0{,}693\cdot \tau }${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \cdot \ln 2\approx 0{,}693\cdot \tau }

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}t}}${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}t}}

• Java-Animation des Zerfallsgesetzes

• Kernphysik