Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings ${\displaystyle W(R)}${\displaystyle W(R)} stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, d. h. die ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.^[1]

Sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe ${\displaystyle \oplus }${\displaystyle \oplus } als Addition und dem Tensorprodukt ${\displaystyle \otimes }${\displaystyle \otimes } als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume ${\displaystyle S_{1},S_{2}}${\displaystyle S_{1},S_{2}} als stabil äquivalent, wenn es ${\displaystyle T_{1},T_{2}}${\displaystyle T_{1},T_{2}} gibt, so dass ${\displaystyle S_{1}\oplus T_{1}}${\displaystyle S_{1}\oplus T_{1}} isomorph zu ${\displaystyle S_{2}\oplus T_{2}}${\displaystyle S_{2}\oplus T_{2}} ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch ${\displaystyle \oplus }${\displaystyle \oplus } und ${\displaystyle \otimes }${\displaystyle \otimes } induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring ${\displaystyle W(R)}${\displaystyle W(R)} bezeichnet wird.

Sei ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}. Als hyperbolische Ebene ${\displaystyle H}${\displaystyle H} bezeichnet man den ${\displaystyle K^{2}}${\displaystyle K^{2}} mit der symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle b(x,y)=2xy}${\displaystyle b(x,y)=2xy}, als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring ${\displaystyle W(K)}${\displaystyle W(K)} äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: ${\displaystyle S_{1}}${\displaystyle S_{1}} und ${\displaystyle S_{2}}${\displaystyle S_{2}} sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form ${\displaystyle M}${\displaystyle M} mit ${\displaystyle S_{2}=S_{1}\oplus M}${\displaystyle S_{2}=S_{1}\oplus M} oder ${\displaystyle S_{1}=S_{2}\oplus M}${\displaystyle S_{1}=S_{2}\oplus M} gibt.

• Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ist ${\displaystyle W(K)\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle W(K)\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }.
• Für den Körper der reellen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z} }${\displaystyle W(\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z} }.
• Für den Ring der ganzen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }${\displaystyle W(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }.
• Für den Körper der rationalen Zahlen ist ${\displaystyle W(\mathbb {Q} )=W(\mathbb {R} )\bigoplus \oplus _{p}W(F_{p})}${\displaystyle W(\mathbb {Q} )=W(\mathbb {R} )\bigoplus \oplus _{p}W(F_{p})} (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
• Für einen endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}${\displaystyle F_{q}} mit ${\displaystyle q\equiv 3\mod 4}${\displaystyle q\equiv 3\mod 4} ist ${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }.^[2]
• Für einen endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}${\displaystyle F_{q}} mit ${\displaystyle q\equiv 1\mod 4}${\displaystyle q\equiv 1\mod 4} ist ${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[F^{*}/F^{*2}\right]}${\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[F^{*}/F^{*2}\right]}.
• Für einen lokalen Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} mit Maximalideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}${\displaystyle {\mathfrak {m}}} der Norm ${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 1\mod 4}${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 1\mod 4} ist ${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}.
• Für einen lokalen Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} mit Maximalideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}${\displaystyle {\mathfrak {m}}} der Norm ${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 3\mod 4}${\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 3\mod 4} ist ${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}${\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]}.
• Für jeden Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} wird der Torsionsanteil von ${\displaystyle W(K)}${\displaystyle W(K)} von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973.

1. ↑ Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
2. ↑ Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.

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