Weg (Physik)

Ein Weg eines als punktförmig angenommenen Objektes ist der Verlauf seines Ortes bei fortschreitender Zeit infolge seiner Bewegung. Der Weg wird auch als Bahn bezeichnet; er verläuft entlang einer Bahnkurve.^{[1] [2]} Die Position auf dem Weg wird durch einen Ortsvektor relativ zu einem beliebig wählbaren Bezugspunkt beschrieben,^{[3] [4]} welcher als ruhend angenommen wird.^[5] Das bevorzugte Formelzeichen zum Weg ist das ${\displaystyle s}${\displaystyle s} (von lat. spatium ‚Raum‘, ‚Ausdehnung‘, ‚Entfernung‘).

Teilweise wird mit dem Begriff „Weg" seine Länge entlang der Bahnkurve gemeint. Zur Unterscheidung wird diese skalare Größe auch als zurückgelegter Weg, Wegstrecke oder Bogenlänge bezeichnet.^{[6] [7] [8]}

Der Weg als Verlauf des Ortes eines punktförmigen Objekts kann durch Berechnungen als Lösung einer Bewegungsgleichung, die aber nur in einfachen Fällen in geschlossener Form angegeben werden kann, oder durch Messungen z. B. von Teilchen in einer Drahtkammer bestimmt werden. Als Parameter für den Verlauf können entweder die Zeit ${\displaystyle t}${\displaystyle t} oder die Wegstrecke ${\displaystyle s}${\displaystyle s} gewählt werden, also wahlweise ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}${\displaystyle {\vec {r}}(t)} oder ${\displaystyle {\vec {r}}(s)}${\displaystyle {\vec {r}}(s)}.

Die Länge eines Weges (Weglänge, vor allem wenn Wellen bzw. Strömungen betrachtet werden auch Lauflänge genannt) von Punkt ${\displaystyle A}${\displaystyle A} zu Punkt ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ist die Summe aller Wegstrecken zwischen ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B}. Für genügend kleine, geometrisch einfache oder geradlinige Wegstücke ${\displaystyle \Delta s_{i}}${\displaystyle \Delta s_{i}} gilt:

${\displaystyle s_{A\to B}=\sum _{i}\Delta s_{i}.}${\displaystyle s_{A\to B}=\sum _{i}\Delta s_{i}.}

Wenn sich ein physikalischer Körper bewegt, so ändert sich sein Ort kontinuierlich im Laufe der Zeit. Die Kurve, die er dabei beschreibt, wird Trajektorie oder Bahnkurve genannt. Das skalare Wegelement ${\displaystyle \mathrm {d} s}${\displaystyle \mathrm {d} s} ist der Betrag der infinitesimalen Ortsänderung ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}:

${\displaystyle \mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|=|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t}${\displaystyle \mathrm {d} s=|\mathrm {d} {\vec {r}}|=|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t}

Bei der Berechnung der Weglänge geht dann die Summation in eine Integration über. Man erhält so die Länge des zwischen den beiden Zeiten zurückgelegten Teils der Bahnkurve durch

${\displaystyle s_{A\to B}=\int \limits _{A,\ {\cal {C}}}^{B}\mathrm {d} s=\int \limits _{t_{A}}^{t_{B}}|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t}${\displaystyle s_{A\to B}=\int \limits _{A,\ {\cal {C}}}^{B}\mathrm {d} s=\int \limits _{t_{A}}^{t_{B}}|{\vec {v}}(t)|\;\mathrm {d} t},

wobei ${\displaystyle {\vec {r}}(t_{A})=A}${\displaystyle {\vec {r}}(t_{A})=A} und ${\displaystyle {\vec {r}}(t_{B})=B}${\displaystyle {\vec {r}}(t_{B})=B}.

Im Allgemeinen ist die Weglänge ${\displaystyle s}${\displaystyle s} länger als die Entfernung zwischen Anfangs- und Endpunkt der Bahnkurve.

Eine Vereinfachung ergibt sich bei einem eindimensionalen Vorgang: Die Vektoren können durch Skalare ersetzt werden. Beispielsweise bei einem senkrechten Wurf nach oben gilt mit der Fallbeschleunigung ${\displaystyle g}${\displaystyle g}, der Anfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}>0}${\displaystyle v_{0}>0} beim Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t_{0}=0}${\displaystyle t_{0}=0}, der Ort-Zeit-Funktion ${\displaystyle h(t)}${\displaystyle h(t)} und der Anfangshöhe ${\displaystyle h_{0}=0}${\displaystyle h_{0}=0}

${\displaystyle v(t)=v_{0}-g\cdot t}${\displaystyle v(t)=v_{0}-g\cdot t}.

${\displaystyle h(t)=v_{0}\cdot t-{\frac {g}{2}}\cdot t^{2}}${\displaystyle h(t)=v_{0}\cdot t-{\frac {g}{2}}\cdot t^{2}}.

Der Wurf erreicht zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=v_{0}/g}${\displaystyle t=v_{0}/g} eine maximale Steighöhe ${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={v_{0}}^{2}/(2g)}${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={v_{0}}^{2}/(2g)}; dort ist ${\displaystyle v=0}${\displaystyle v=0}. An dieser Stelle kehrt ${\displaystyle v}${\displaystyle v} sein Vorzeichen um. Von dort fällt er wieder zum Ausgangspunkt zurück. Da er für den Rückweg genauso lang braucht wie für den Hinweg, landet er zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=2v_{0}/g}${\displaystyle t=2v_{0}/g} wieder auf dem Boden. Die gesamte Wegstrecke vom Ausgangspunkt über den Scheitelpunkt bis zum Ausgangspunkt zurück errechnet sich somit zu:

${\displaystyle s=\int \limits _{0}^{2v_{0}/g}|v_{0}-g\cdot t|\;\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{v_{0}/g}(v_{0}-g\cdot t)\;\mathrm {d} t+\int \limits _{v_{0}/g}^{2v_{0}/g}-(v_{0}-g\cdot t)\;\mathrm {d} t={\frac {{v_{0}}^{2}}{g}}.}${\displaystyle s=\int \limits _{0}^{2v_{0}/g}|v_{0}-g\cdot t|\;\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{v_{0}/g}(v_{0}-g\cdot t)\;\mathrm {d} t+\int \limits _{v_{0}/g}^{2v_{0}/g}-(v_{0}-g\cdot t)\;\mathrm {d} t={\frac {{v_{0}}^{2}}{g}}.}

Dieses Ergebnis erhält man auch ohne Integration: Wenn sich das Wurfobjekt von der Anfangshöhe ${\displaystyle h_{0}=0}${\displaystyle h_{0}=0} bis zur maximalen Steighöhe ${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={v_{0}}^{2}/(2g)}${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={v_{0}}^{2}/(2g)} auf einer geraden Wurfbahn ohne Richtungsänderung bewegt, so legt es eine Distanz von ${\displaystyle {v_{0}}^{2}/(2g)}${\displaystyle {v_{0}}^{2}/(2g)} zurück. Da es diese Distanz wieder zurück auf den Boden fällt, wird sie zweimal gezählt und die gesamte Distanz beträgt ${\displaystyle s={v_{0}}^{2}/g.}${\displaystyle s={v_{0}}^{2}/g.}

Wird ein Objekt in einem physikalischen Feld ${\displaystyle {\vec {F}}}${\displaystyle {\vec {F}}} längs eines Wegs vom Ort ${\displaystyle A}${\displaystyle A} zum Ort ${\displaystyle B}${\displaystyle B} verschoben, die durch die Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}${\displaystyle {\vec {r}}_{A}} und ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}}${\displaystyle {\vec {r}}_{B}} gegeben sind und wirkt auf das Objekt eine Feldkraft ${\displaystyle {\vec {F}}}${\displaystyle {\vec {F}}} ein, so wird durch das Feld eine Arbeit

${\displaystyle W_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}${\displaystyle W_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}

am Objekt verrichtet. Handelt es sich um ein homogenes Feld, so ist ${\displaystyle {\vec {F}}}${\displaystyle {\vec {F}}} ein ortsunabhängiger konstanter Vektor. Dann gilt

${\displaystyle W_{A\to B}={\vec {F}}\cdot \left(\int _{A}^{B}\mathrm {d} {\vec {r}}\right)={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}_{AB}}${\displaystyle W_{A\to B}={\vec {F}}\cdot \left(\int _{A}^{B}\mathrm {d} {\vec {r}}\right)={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}_{AB}},

da die Integration des vektoriellen Wegelements ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}} den Verschiebungsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}_{AB}}${\displaystyle {\vec {r}}_{AB}} von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nach ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ergibt.

Beispielsweise wird von einem konstanten, homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}}${\displaystyle {\vec {E}}} an einer Ladung ${\displaystyle q}${\displaystyle q}, die sich in diesem Feld von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nach ${\displaystyle B}${\displaystyle B} bewegt, die Arbeit

${\displaystyle W_{A\to B}=q\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=q{\vec {E}}\cdot {\vec {r}}_{AB}}${\displaystyle W_{A\to B}=q\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=q{\vec {E}}\cdot {\vec {r}}_{AB}}

verrichtet.

Wenn ein Feld ein Quellen- oder Potentialfeld ist, dann ist die dadurch verursachte Kraft eine konservative Kraft. Die Arbeit für die Verschiebung des Körpers von einem Ort zu einem anderen hängt dann nur von der Lage der beiden Orte ab, nicht aber vom Verlauf des Weges dazwischen. Dies meint man, wenn man von einer wegunabhängigen Arbeit spricht.

Entsprechendes gilt für eine bewegte Masse im Gravitationsfeld. Mit der auf eine zeitunabhängige Masse ${\displaystyle m}${\displaystyle m} einwirkenden Kraft, die gleich Masse mal Beschleunigung ist, also mit ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}${\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}} ergibt sich

${\displaystyle W_{A\to B}=m\int _{A}^{B}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=m\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}},円\mathrm {d} t=m\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {1}{2}},円{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)),円\mathrm {d} t={\frac {m}{2}}{v_{B}}^{2}-{\frac {m}{2}}{v_{A}}^{2}}${\displaystyle W_{A\to B}=m\int _{A}^{B}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=m\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}},円\mathrm {d} t=m\int _{t_{A}}^{t_{B}}{\frac {1}{2}},円{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)),円\mathrm {d} t={\frac {m}{2}}{v_{B}}^{2}-{\frac {m}{2}}{v_{A}}^{2}}.

Die Arbeit ist nur von der kinetischen Energie bei Anfangs- und Endpunkt abhängig und nicht von der kinetischen Energie während des Weges.

1. ↑ Walter Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik: Band 1 Physik der Vorgänge. Springer, 2. Aufl. 1955, S. 5
2. ↑ Ernst Grimsehl, Kurt Altenburg: Grimsehl Lehrbuch der Physik: Band 1 Mechanik • Akustik • Wärmelehre. Springer, 27. Aufl. 1991, S. 27
3. ↑ Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik 3: Band 3: Kinematik und Kinetik. Oldenbourg, 14. Aufl. 2007, S. 62
4. ↑ Gottfried Falk, Wolfgang Ruppel: Mechanik, Relativität, Gravitation: Die Physik des Naturwissenschaftlers. Springer, 3. Aufl. 1983, S. 23.
5. ↑ Paul Dobrinski, Gunter Krakau, Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. Vieweg+Teubner, 12. Aufl. 2010, S. 17.
6. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3: Vektoranalysis ... Springer Vieweg, 7. Aufl. 2016, S. 12 ff
7. ↑ Klaus Lüders, Robert O. Pohl (Hrsg.): Pohls Einführung in die Physik: Mechanik, Akustik und Wärmelehre. Springer, 19. Aufl., S. 11.
8. ↑ Helmut Lindner: Physik für Ingenieure. Vieweg, 12. Aufl. 1991, S. 34

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