Verma-Modul

In der Mathematik ist der Verma-Modul ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}${\displaystyle {\mathfrak {h}}} eine Cartan-Unteralgebra, ${\displaystyle R}${\displaystyle R} das Wurzelsystem mit ${\displaystyle R^{+}}${\displaystyle R^{+}} als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}${\displaystyle \alpha \in R^{+}} wählen wir ein ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }} und ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}.

Zu einem Gewicht ${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } konstruiert man den Verma-Modul ${\displaystyle W_{\lambda }}${\displaystyle W_{\lambda }} als Quotient

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}

der universellen einhüllenden Algebra ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}${\displaystyle U({\mathfrak {g}})} nach dem Linksideal ${\displaystyle I_{\lambda }}${\displaystyle I_{\lambda }} erzeugt von allen Elementen der Form

${\displaystyle X_{\alpha },\alpha \in R^{+}}${\displaystyle X_{\alpha },\alpha \in R^{+}}

und

${\displaystyle H-\lambda (H)1,H\in {\mathfrak {h}}}${\displaystyle H-\lambda (H)1,H\in {\mathfrak {h}}}.

Für einen Vektor höchsten Gewichts ${\displaystyle v\in W_{\lambda }}${\displaystyle v\in W_{\lambda }} ist die durch

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v}${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v}

definierte Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon U({\mathfrak {g}})\to W_{\lambda }}${\displaystyle \Phi \colon U({\mathfrak {g}})\to W_{\lambda }} ein surjektiver Homomorphismus.

Wir betrachten das Beispiel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}. Für ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}${\displaystyle {\mathfrak {h}}} wählen wir den Aufspann von ${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\0円&-1\end{array}}\right)}${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\0円&-1\end{array}}\right)}.

Für ein beliebiges ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }${\displaystyle m\in \mathbb {C} } definieren wir ${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } durch ${\displaystyle \lambda (H)=m}${\displaystyle \lambda (H)=m}. Wir wählen ${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}0&1\0円&0\end{array}}\right)}${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}0&1\0円&0\end{array}}\right)} und ${\displaystyle Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\1円&0\end{array}}\right)}${\displaystyle Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\1円&0\end{array}}\right)}.

Dann wird der Verma-Modul ${\displaystyle W_{\lambda }}${\displaystyle W_{\lambda }} von linear unabhängigen Vektoren ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots }${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots } erzeugt und ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}${\displaystyle U({\mathfrak {g}})} wirkt durch

${\displaystyle X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_{j}=v_{j+1},H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}${\displaystyle X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_{j}=v_{j+1},H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}.

Wegen ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0} ist der von ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots } aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von ${\displaystyle W_{\lambda }}${\displaystyle W_{\lambda }} nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} mit höchstem Gewicht ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda }.

Zu jeder Darstellung ${\displaystyle V}${\displaystyle V} von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}, deren höchstes Gewicht ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle W_{\lambda }\to V}${\displaystyle W_{\lambda }\to V}.

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.

• Darstellungstheorie von Lie-Gruppen
• Theorie der Lie-Algebren