Vektorpotential

Das Vektorpotential ist im Bereich der Vektoranalysis ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld erzeugt.

Formal lautet die Definition eines Vektorpotentials ${\displaystyle {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {A}}} für ein festes Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {V}}}${\displaystyle {\vec {V}}} mit dem Nabla-Operator ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}${\displaystyle {\vec {\nabla }}}

${\displaystyle {\vec {V}}=\mathrm {rot} ,円{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {V}}=\mathrm {rot} ,円{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}

Der Zusammenhang ist analog zum Skalarpotential und seinem Gradientenfeld.^[1]

Historisch war das magnetische Vektorpotential der Anlass, das Vektorpotential zu beschreiben. Es wurde eingeführt, um in der klassischen Elektrodynamik Berechnungen mit der magnetischen Flussdichte und der elektromagnetischen Induktion zu vereinfachen.^[2]

Sei ${\displaystyle {\vec {V}}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle {\vec {V}}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} ein zweifach stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld, das für ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert \to \infty }${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert \to \infty } mindestens so schnell abfällt wie ${\displaystyle {\frac {1}{\lVert {\vec {x}}\rVert }}}${\displaystyle {\frac {1}{\lVert {\vec {x}}\rVert }}}. Dann ist durch

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {V}}({\vec {y}})}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\right\|}},円d^{3}y}${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times {\vec {V}}({\vec {y}})}{\left\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\right\|}},円d^{3}y},

ein Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {A}}} von ${\displaystyle {\vec {V}}}${\displaystyle {\vec {V}}} definiert^[1] .

Dies ist ein Spezialfall des Helmholtz-Theorems.

Das Vektorpotential eines quellfreien Vektorfeldes ist nicht eindeutig definiert. Ist ${\displaystyle {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {A}}} ein Vektorpotential von ${\displaystyle {\vec {V}}}${\displaystyle {\vec {V}}}, so ist auch

${\displaystyle {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f}${\displaystyle {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f}

ein Vektorpotential von ${\displaystyle {\vec {V}}}${\displaystyle {\vec {V}}} für beliebige, stetig differenzierbare Skalarfelder ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Dies folgt aus der Rotationsfreiheit von Gradientenfeldern. In der Physik wird diese Eigenschaft des Vektorpotentials unter dem Thema Eichtransformation behandelt.^[1]

Wenn ein Vektorfeld durch ein Vektorpotential erzeugt werden kann, muss es ein quellfreies Vektorfeld sein.

Dies liegt daran, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist.

${\displaystyle \mathrm {div} ,円{\vec {V}}=\mathrm {div} ,円\mathrm {rot} ,円{\vec {A}}=0}${\displaystyle \mathrm {div} ,円{\vec {V}}=\mathrm {div} ,円\mathrm {rot} ,円{\vec {A}}=0}

Das Vektorpotential wird vor allem in der Physik angewendet. Beispiele dafür sind

• das Magnetische Vektorpotential und
• das Elektrische Vektorpotential

1. ↑ ^{a b c} Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5 . 
2. ↑ A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X , S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143 . 

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