Umbrella-Test

Der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe^[1] stellt die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpstra-Testes dar. Im Unterschied zu diesem Test wird jedoch nicht von einem monotonen Trend ausgegangen, sondern von Trends mit einem Gipfel.

Die Nullhypothese H₀ lautet für die Erwartungswerte G der Gruppen: ${\displaystyle G_{1}\ =\ G_{2}\ =\ \dots \ =\ G_{c}}${\displaystyle G_{1}\ =\ G_{2}\ =\ \dots \ =\ G_{c}}

Als Alternativhypothese H_A gilt: ${\displaystyle G_{1}\ \leq \ G_{2}\ \leq \ \dots \ \leq \ G_{l}\ \geq \ G_{l+1}\ \geq \ \dots \ \geq \ G_{c}}${\displaystyle G_{1}\ \leq \ G_{2}\ \leq \ \dots \ \leq \ G_{l}\ \geq \ G_{l+1}\ \geq \ \dots \ \geq \ G_{c}}, wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Die Teststatistik MW lautet für eine Anzahl ${\displaystyle c}${\displaystyle c} von Gruppen mit einem Gipfel bei ${\displaystyle l}${\displaystyle l} mit jeweils ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Messungen:

${\displaystyle MW\ =\ \sum _{r=1}^{l-1}\ \sum _{s=r+1}^{l}U_{rs}\ +\ \sum _{r=l}^{c-1}\ \sum _{s=r+1}^{c}U_{sr}}${\displaystyle MW\ =\ \sum _{r=1}^{l-1}\ \sum _{s=r+1}^{l}U_{rs}\ +\ \sum _{r=l}^{c-1}\ \sum _{s=r+1}^{c}U_{sr}}

Dabei ist ${\displaystyle U_{rs}}${\displaystyle U_{rs}} bzw. ${\displaystyle U_{sr}}${\displaystyle U_{sr}} für die r-te und das s-te Gruppe mit ${\displaystyle 1\leq r\ <s\leq c}${\displaystyle 1\leq r\ <s\leq c} definiert als

${\displaystyle U_{rs}\ =\ \sum _{h=1}^{n_{r}}\ \sum _{i=1}^{n_{s}}\Psi (X_{rh}\ -\ X_{si})}${\displaystyle U_{rs}\ =\ \sum _{h=1}^{n_{r}}\ \sum _{i=1}^{n_{s}}\Psi (X_{rh}\ -\ X_{si})}

und

${\displaystyle U_{sr}\ =\ n_{r}n_{s}\ -\ U_{rs}}${\displaystyle U_{sr}\ =\ n_{r}n_{s}\ -\ U_{rs}}

mit

${\displaystyle \Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\0円&{\text{wenn }}u\leq 0\end{cases}}\ }${\displaystyle \Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\0円&{\text{wenn }}u\leq 0\end{cases}}\ } oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) ${\displaystyle \ \Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\1円/2&{\text{wenn }}u=0\0円&{\text{wenn }}u<0\end{cases}}}${\displaystyle \ \Psi (u)\ ={\begin{cases}1&{\text{wenn }}u>0\1円/2&{\text{wenn }}u=0\0円&{\text{wenn }}u<0\end{cases}}}

Die berechnete Prüfgröße ${\displaystyle MW}${\displaystyle MW} wird größer, wenn ein biphasischer Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße ${\displaystyle MW}${\displaystyle MW} eine Normalverteilung auf.

Für den Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{MW}}${\displaystyle \mu _{MW}} und dessen Varianz ${\displaystyle \sigma _{MW}}${\displaystyle \sigma _{MW}} gelten folgende Formeln, die sich letztendlich aus einer Addition der Statistiken des Jonkheere-Terpstra-Tests ^{[2] [3]} ergeben:

${\displaystyle \mu _{MW}\ =\ {\frac {m_{1}^{2}\ +\ m_{2}^{2}\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}\ -\ n_{l}^{2}}{4}}\ }${\displaystyle \mu _{MW}\ =\ {\frac {m_{1}^{2}\ +\ m_{2}^{2}\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}\ -\ n_{l}^{2}}{4}}\ }

und

${\displaystyle \ \sigma _{MW}\ =\ {\sqrt {\frac {2(m_{1}^{3}+m_{2}^{3})\ +\ 3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}(2n_{i}+3)\ -\ n_{l}^{2}(2n_{l}+3)\ +\ 12n_{l}m_{1}m_{2}\ -\ 12n_{l}^{2}N}{72}}}}${\displaystyle \ \sigma _{MW}\ =\ {\sqrt {\frac {2(m_{1}^{3}+m_{2}^{3})\ +\ 3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})\ -\ \sum _{i=1}^{c}n_{i}^{2}(2n_{i}+3)\ -\ n_{l}^{2}(2n_{l}+3)\ +\ 12n_{l}m_{1}m_{2}\ -\ 12n_{l}^{2}N}{72}}}}

mit

${\displaystyle N\ =\ \sum _{i=1}^{c}n_{i},\quad m_{1}\ =\ \sum _{i=1}^{l}n_{i}\quad {\text{und}}\ m_{2}\ =\ \sum _{i=l}^{c}n_{i}}${\displaystyle N\ =\ \sum _{i=1}^{c}n_{i},\quad m_{1}\ =\ \sum _{i=1}^{l}n_{i}\quad {\text{und}}\ m_{2}\ =\ \sum _{i=l}^{c}n_{i}}

Die daraus folgende Variable ${\displaystyle Z}${\displaystyle Z} ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichproben größer 12 ist:

${\displaystyle Z\ =\ {\frac {{MW}\ -\ \mu _{MW}}{\sigma _{MW}}}}${\displaystyle Z\ =\ {\frac {{MW}\ -\ \mu _{MW}}{\sigma _{MW}}}}

Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5 %-Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

${\displaystyle {MW}\ >\ \mu _{MW}\ +\ 1,645\sigma _{MW}}${\displaystyle {MW}\ >\ \mu _{MW}\ +\ 1,645\sigma _{MW}}

1. ↑ H.B. Mack, D.A. Wolfe: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass., 76, 1981, S. 175–181, doi:10.1080/01621459.1981.10477625, JSTOR:2287064
2. ↑ T.J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae, 14, 1952, S. 327–333
3. ↑ A.R. Jonkheere: A distribution-free K-sample test against ordered alternatives. In: Biometrika, 41, 1954, S. 133-145, doi:10.1093/biomet/41.1-2.133, JSTOR:2333011

• Nichtparametrischer Test