Tubulare Umgebung

In der Mathematik ist die tubulare Umgebung oder Tubenumgebung ein häufig verwendetes technisches Hilfsmittel der Differentialtopologie.

Es sei ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle N\subset M}${\displaystyle N\subset M} eine kompakte differenzierbare Untermannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U(N)}${\displaystyle U(N)} von ${\displaystyle N}${\displaystyle N} in ${\displaystyle M}${\displaystyle M} mit der folgenden Eigenschaft:

Es gibt ein Faserbündel ${\displaystyle U(N)\to N}${\displaystyle U(N)\to N} mit Totalraum ${\displaystyle U(N)}${\displaystyle U(N)}, Basis ${\displaystyle N}${\displaystyle N} und Faser diffeomorph zu

${\displaystyle B^{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{k}\ |\ |x|<1\},k=\dim(M)-\dim(N)}${\displaystyle B^{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{k}\ |\ |x|<1\},k=\dim(M)-\dim(N)}.

Weiterhin ist ${\displaystyle N\subset U(N)}${\displaystyle N\subset U(N)} der Nullschnitt dieses Faserbündels.

Diese Umgebung ${\displaystyle U(N)}${\displaystyle U(N)} wird als Tubenumgebung von ${\displaystyle N}${\displaystyle N} bezeichnet, sie ist nur bis auf Isotopie eindeutig bestimmt.

• Kragenumgebung

• James R. Munkres: Elementary differential topology. Lectures given at Massachusetts Institute of Technology, Fall 1961. Revised edition. In: Annals of Mathematics Studies, No. 54. Princeton University Press, Princeton NJ 1966

• Schnürer: Differentialtopologie (PDF; 755 kB) Satz 1.16

• Differentialtopologie