Trigamma-Funktion

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion ^[1] ; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion ${\displaystyle \psi }${\displaystyle \psi }. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit ${\displaystyle \psi _{1}}${\displaystyle \psi _{1}} bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion ${\displaystyle \ln }${\displaystyle \ln } ${\displaystyle (\Gamma (x))}${\displaystyle (\Gamma (x))} definiert, wobei ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } die Gammafunktion bezeichnet.

Die Definition lautet:

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z).}${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z).}

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion ${\displaystyle \psi (z)}${\displaystyle \psi (z)}, dass

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)}${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)}

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}}=\zeta (2,z)}${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}}=\zeta (2,z)}

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta }-Funktion ^[2] ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\int \limits _{0}^{y}{\frac {x^{z-1},円\mathrm {d} x}{1-x}}.}${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\int \limits _{0}^{y}{\frac {x^{z-1},円\mathrm {d} x}{1-x}}.}

Außerdem gilt

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}},円\mathrm {d} x.}${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}},円\mathrm {d} x.}

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{2k}}${\displaystyle B_{2k}} ein:

${\displaystyle \psi _{1}(z)\sim {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}${\displaystyle \psi _{1}(z)\sim {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}.

Zwar ist die Reihe für kein ${\displaystyle z}${\displaystyle z} mit ${\displaystyle N\to \infty }${\displaystyle N\to \infty } konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte ${\displaystyle N}${\displaystyle N} eine sehr gute Näherung dar. Je größer ${\displaystyle |z|}${\displaystyle |z|} ist, desto größer kann ${\displaystyle N}${\displaystyle N} gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).,円}${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).,円}

Hier ist ${\displaystyle \csc }${\displaystyle \csc } der Kosekans.

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} die Catalansche Konstante, ${\displaystyle \zeta (x)}${\displaystyle \zeta (x)} die Riemannsche Zetafunktion und ${\displaystyle {\rm {{Cl}_{2}}}}${\displaystyle {\rm {{Cl}_{2}}}} die Clausen-Funktion ^[3] bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}-8G\\&\psi _{1},円(1)&={}&\zeta (2)={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {5}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G-16\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\\&\psi _{1},円(2)&={}&{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}-8G\\&\psi _{1},円(1)&={}&\zeta (2)={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {5}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G-16\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\\&\psi _{1},円(2)&={}&{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\end{aligned}}}

1. ↑ Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
3. ↑ Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld (englisch).

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
• Eric W. Weisstein: Trigamma Function. In: MathWorld (englisch).

• Analytische Funktion