Transversalitätssatz

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f\colon M\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}${\displaystyle U} eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}${\displaystyle N}. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} } (und jeder Metrik auf ${\displaystyle N}${\displaystyle N}) eine ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta }-Approximation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, die transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ist.^[1]

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle g\colon M\rightarrow N}${\displaystyle g\colon M\rightarrow N} ist transversal zur Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle U}${\displaystyle U}, wenn

${\displaystyle T_{g(x)}N=T_{g(x)}U+d_{x}g(T_{x}M)\quad \forall ,円x\in g^{-1}(U)}${\displaystyle T_{g(x)}N=T_{g(x)}U+d_{x}g(T_{x}M)\quad \forall ,円x\in g^{-1}(U)}

gilt. (Insbesondere auch wenn ${\displaystyle g^{-1}(U)=\emptyset }${\displaystyle g^{-1}(U)=\emptyset }.) Eine Abbildung ${\displaystyle g\colon M\rightarrow N}${\displaystyle g\colon M\rightarrow N} ist eine δ-Approximation von ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f\colon M\rightarrow N} falls

${\displaystyle d(f(x),g(x))<\delta (x)\quad \forall ,円x\in M,}${\displaystyle d(f(x),g(x))<\delta (x)\quad \forall ,円x\in M,}

gilt. Für hinreichend kleine ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} ist jede δ-Approximation homotop zu ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu ${\displaystyle f}${\displaystyle f} homotopen Abbildung, die transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ist. Zu jedem ${\displaystyle \epsilon \colon M\rightarrow \mathbb {R} }${\displaystyle \epsilon \colon M\rightarrow \mathbb {R} } gibt es ein ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }, so dass es zu jeder δ-Approximation ${\displaystyle g}${\displaystyle g} von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine Homotopie ${\displaystyle H\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}${\displaystyle H\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N} zwischen ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle g}${\displaystyle g} gibt, bei der für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}${\displaystyle t\in \left[0,1\right]} die Abbildung ${\displaystyle H(.,t)}${\displaystyle H(.,t)} eine ε-Approximation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist.^[2]

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2})}${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2})} ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}${\displaystyle \epsilon >0} die Abbildung ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2}+\epsilon )}${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2}+\epsilon )} transversal zur x-Achse.
• Falls ${\displaystyle \dim(M)+\dim(U)<\dim(N)}${\displaystyle \dim(M)+\dim(U)<\dim(N)}, dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f\colon M\rightarrow N} eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ist.

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f\colon M\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}${\displaystyle U} eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}${\displaystyle N}. Sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle M}${\displaystyle M} und die Einschränkung ${\displaystyle f\mid _{A}}${\displaystyle f\mid _{A}} sei transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U}. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} } (und jeder Metrik auf ${\displaystyle N}${\displaystyle N}) eine ${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta }-Approximation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, die transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ist und auf ${\displaystyle A}${\displaystyle A} mit ${\displaystyle f}${\displaystyle f} übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien ${\displaystyle M,N}${\displaystyle M,N} differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}${\displaystyle U} eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}${\displaystyle N}. Sei ${\displaystyle F\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}${\displaystyle F\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N} eine differenzierbare Abbildung, für die ${\displaystyle f_{0}:=F(.,0)\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f_{0}:=F(.,0)\colon M\rightarrow N} und ${\displaystyle f_{1}:=F(.,1)\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f_{1}:=F(.,1)\colon M\rightarrow N} transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} sind. Dann gibt es eine Abbildung ${\displaystyle G\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}${\displaystyle G\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}, die transversal zu ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ist und auf ${\displaystyle M\times \left\{0\right\}}${\displaystyle M\times \left\{0\right\}} bzw. ${\displaystyle M\times \left\{1\right\}}${\displaystyle M\times \left\{1\right\}} mit ${\displaystyle f_{0}}${\displaystyle f_{0}} bzw. ${\displaystyle f_{1}}${\displaystyle f_{1}} übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

1. ↑ René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, ISSN 0037-8615 .
2. ↑ Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.

• Satz (Differentialtopologie)