Thomsonsche Schwingungsgleichung

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Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz f 0 {\displaystyle f_{0}} {\displaystyle f_{0}} eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

f 0 = 1 2 π L C {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}} {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

T = 1 f 0 = 2 π L C {\displaystyle T={\frac {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}} {\displaystyle T={\frac {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}}

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand X C {\displaystyle X_{C}} {\displaystyle X_{C}} des Kondensators und der induktive Widerstand X L {\displaystyle X_{L}} {\displaystyle X_{L}} der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

X L + X C = 0 ⇔ ω 0 L − 1 ω 0 C = 0 {\displaystyle X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0} {\displaystyle X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0}
ω 0 L = 1 ω 0 C {\displaystyle \omega _{0}L={\frac {1}{\omega _{0}C}}} {\displaystyle \omega _{0}L={\frac {1}{\omega _{0}C}}}
2 π f 0 L = 1 2 π f 0 C {\displaystyle 2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}} {\displaystyle 2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}}, da gilt ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} {\displaystyle \omega =2\pi f}
f 0 2 = 1 4 π 2 L C {\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}} {\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}}
f 0 = 1 2 π L C {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}} {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}, üblich ist auch die Form: ω 0 = 1 L C {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}} {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}

Nach dem Energieerhaltungssatz

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Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

E m a g ( t ) + E e l ( t ) = E G e s a m t {\displaystyle \!,円E_{\mathrm {mag} }(t)+E_{\rm {el}}(t)=E_{\rm {Gesamt}}} {\displaystyle \!,円E_{\mathrm {mag} }(t)+E_{\rm {el}}(t)=E_{\rm {Gesamt}}}
E m a g {\displaystyle E_{\mathrm {mag} }} {\displaystyle E_{\mathrm {mag} }}: magnetische Feldenergie der Spule
E e l {\displaystyle E_{\mathrm {el} }} {\displaystyle E_{\mathrm {el} }}: elektrische Feldenergie des Kondensators
E G e s a m t {\displaystyle E_{\mathrm {Gesamt} }} {\displaystyle E_{\mathrm {Gesamt} }}: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

1 2 L I 2 ( t ) + 1 2 C Q 2 ( t ) = E G e s a m t {\displaystyle {\frac {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }} {\displaystyle {\frac {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }}

Aus

I ( t ) = d Q ( t ) d t = Q ˙ ( t ) {\displaystyle I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}={\dot {Q}}(t)} {\displaystyle I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}={\dot {Q}}(t)}

folgt:

1 2 L Q ˙ 2 ( t ) + 1 2 C Q 2 ( t ) = E G e s a m t {\displaystyle {\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }} {\displaystyle {\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }}

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

L Q ˙ Q ¨ ( t ) + 1 C Q Q ˙ ( t ) = 0 {\displaystyle L{\dot {Q}}{\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{C}}Q{\dot {Q}}(t)=0} {\displaystyle L{\dot {Q}}{\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{C}}Q{\dot {Q}}(t)=0}
I ( t ) ( L Q ¨ + 1 C Q ( t ) ) = 0 {\displaystyle I(t)\left(L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)\right)=0} {\displaystyle I(t)\left(L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)\right)=0}
L Q ¨ + 1 C Q ( t ) = 0 {\displaystyle L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)=0} {\displaystyle L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)=0}, da im Schwingkreis gilt: I ( t ) ≠ 0 {\displaystyle I(t)\neq 0} {\displaystyle I(t)\neq 0}.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen Q ( t ) {\displaystyle Q(t)} {\displaystyle Q(t)} und Q ¨ ( t ) {\displaystyle {\ddot {Q}}(t)} {\displaystyle {\ddot {Q}}(t)} herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

Q ( t ) = Q ^ ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ ) {\displaystyle Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )} {\displaystyle Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )}
Q ˙ ( t ) = ω Q ^ ⋅ cos ⁡ ( ω t + φ ) {\displaystyle {\dot {Q}}(t)=\omega {\hat {Q}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )} {\displaystyle {\dot {Q}}(t)=\omega {\hat {Q}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )}
Q ¨ ( t ) = − ω 2 Q ^ ⋅ sin ⁡ ( ω t + φ ) = − ω 2 ⋅ Q ( t ) {\displaystyle {\ddot {Q}}(t)=-\omega ^{2}{\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t)} {\displaystyle {\ddot {Q}}(t)=-\omega ^{2}{\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t)}
Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} {\displaystyle {\hat {Q}}}: maximale Ladung (Amplitude)
ω {\displaystyle \omega } {\displaystyle \omega }: Kreisfrequenz
φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

1 C Q ( t ) − ω 2 L Q ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0} {\displaystyle {\frac {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0}
Q ( t ) ( 1 C − ω 2 L ) = 0 {\displaystyle Q(t)\left({\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0} {\displaystyle Q(t)\left({\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0}
1 C − ω 2 L = 0 {\displaystyle {\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L=0} {\displaystyle {\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L=0}, da im Schwingkreis gilt: Q ( t ) ≠ 0 {\displaystyle Q(t)\neq 0} {\displaystyle Q(t)\neq 0}

Daraus folgt mit ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} {\displaystyle \omega =2\pi f}:

1 C − 4 π 2 f 0 2 L = 0 {\displaystyle {\frac {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0} {\displaystyle {\frac {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0}
f 0 2 = 1 4 π 2 L C {\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}} {\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}}
f 0 = 1 2 π L C {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}} {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von | X L | = | X C | {\displaystyle \left\vert X_{L}\right\vert =\left\vert X_{C}\right\vert } {\displaystyle \left\vert X_{L}\right\vert =\left\vert X_{C}\right\vert }, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden:

ω D = ω 0 1 − R L 2 C L {\displaystyle \omega _{D}=\omega _{0}{\sqrt {1-R_{L}^{2}{\frac {C}{L}}}}} {\displaystyle \omega _{D}=\omega _{0}{\sqrt {1-R_{L}^{2}{\frac {C}{L}}}}}
  • Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4. 
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