Teileranzahlfunktion

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit ${\displaystyle d}${\displaystyle d} oder ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}${\displaystyle \sigma _{0}(n)}.

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} } wird die Teileranzahlfunktion definiert als

${\displaystyle d(n):=|\{d\in \mathbb {N} :d\mid n\}|}${\displaystyle d(n):=|\{d\in \mathbb {N} :d\mid n\}|},

wobei ${\displaystyle |\cdot |}${\displaystyle |\cdot |} die Mächtigkeit der Menge ist.

Die ersten Werte sind:^[1]

• Hat die Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Primfaktorzerlegung

${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\dotsm p_{r}^{e_{r}},}${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\dotsm p_{r}^{e_{r}},}

so gilt:^[2]

${\displaystyle d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dotsm (e_{r}+1)}${\displaystyle d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dotsm (e_{r}+1)}

• Für teilerfremde Zahlen ${\displaystyle m}${\displaystyle m} und ${\displaystyle n}${\displaystyle n} gilt:

${\displaystyle d(mn)=d(m)\cdot d(n)}${\displaystyle d(mn)=d(m)\cdot d(n)}

Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.

• Eine Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist genau dann eine Primzahl, wenn ${\displaystyle d(n)=2}${\displaystyle d(n)=2} gilt.
• Eine Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist genau dann eine Quadratzahl, wenn ${\displaystyle d(n)}${\displaystyle d(n)} ungerade ist.
• Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:^[3]

${\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}${\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}} (für ${\displaystyle \operatorname {Re} ,円s>1}${\displaystyle \operatorname {Re} ,円s>1}).

• Wenn der Wert ${\displaystyle d(n)}${\displaystyle d(n)} eine Primzahl ist, dann ist ${\displaystyle n_{min}=2^{d(n)-1}}${\displaystyle n_{min}=2^{d(n)-1}}
• Wenn der Wert ${\displaystyle d(n)}${\displaystyle d(n)} eine zusammengesetzte Zahl ${\displaystyle \neq 1}${\displaystyle \neq 1} ist, dann ist ${\displaystyle n_{min}}${\displaystyle n_{min}} stets durch 6 teilbar
• Wenn der Wert ${\displaystyle d(n)}${\displaystyle d(n)} eine Zweierpotenz ist, dann ist ${\displaystyle n_{min}}${\displaystyle n_{min}} eine hochzusammengesetzte Zahl

Im Mittel ist ${\displaystyle d(n)\approx \log n}${\displaystyle d(n)\approx \log n}, präziser gilt:^[4]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}

Dabei sind „${\displaystyle O}${\displaystyle O}" ein Landau-Symbol und ${\displaystyle \gamma }${\displaystyle \gamma } die Euler-Mascheroni-Konstante.

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl ${\displaystyle d\leq x}${\displaystyle d\leq x} ein Teiler von etwa ${\displaystyle {\tfrac {x}{d}}}${\displaystyle {\tfrac {x}{d}}} Zahlen ${\displaystyle n\leq x}${\displaystyle n\leq x} ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

${\displaystyle x\cdot \sum _{d=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{d}}\approx x\log x.}${\displaystyle x\cdot \sum _{d=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{d}}\approx x\log x.}

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}} für den Fehlerterm ${\displaystyle O(x^{\beta })}${\displaystyle O(x^{\beta })} wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;^[5] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ${\displaystyle x^{\tfrac {1}{3}}\log x}${\displaystyle x^{\tfrac {1}{3}}\log x}),^[6] J. van der Corput (1922, ${\displaystyle \beta ={\tfrac {33}{100}}}${\displaystyle \beta ={\tfrac {33}{100}}})^[7] sowie M. N. Huxley (${\displaystyle \beta ={\tfrac {131}{416}}}${\displaystyle \beta ={\tfrac {131}{416}}})^[8] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass ${\displaystyle \beta \geq {\tfrac {1}{4}}}${\displaystyle \beta \geq {\tfrac {1}{4}}} gelten muss.^[9] Die möglichen Werte für ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta } sind immer noch Forschungsgegenstand.

Die Teilerfunktion ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}${\displaystyle \sigma _{k}(n)} ordnet jeder Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Summe der ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-ten Potenzen ihrer Teiler zu:^[10]

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}}${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}}

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für ${\displaystyle k=1}${\displaystyle k=1}, und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für ${\displaystyle k=0}${\displaystyle k=0}:

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d^{1}=\sum _{d\mid n}d}${\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d^{1}=\sum _{d\mid n}d}

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1}${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1}

• Hochzusammengesetzte Zahl
• Zahlentheoretische Funktion

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.

• Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Weitere Anfangswerte siehe auch Folge A000005 in OEIS.
2. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.
3. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250.
4. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.
5. ↑ P. G. L. Dirichlet: Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. In: Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66.
6. ↑ G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282.
7. ↑ J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.
8. ↑ M. N. Huxley: Exponential Sums and Lattice Points III. In: Proc. London Math. Soc. Band 87, Nr. 3, 2003, S. 591–609. 
9. ↑ G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.
   Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.
10. ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).

• Zahlentheoretische Funktion