Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Ist ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein Hilbertraum und bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X)}${\displaystyle {\mathcal {L}}(X)} die Menge aller stetigen Endomorphismen von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, so heißt ein Operator ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} normal, falls er mit seinem adjungierten Operator ${\displaystyle A^{\ast }}${\displaystyle A^{\ast }} kommutiert, also wenn

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A}${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A}

gilt.

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Sei ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} ein normaler Operator. Dann gilt:

• ${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|}${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}
• ${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}
• Die Operatornorm von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist gleich dem Spektralradius: ${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.}${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.} Dabei bezeichnet ${\displaystyle \sigma (A)}${\displaystyle \sigma (A)} das Spektrum von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.
• Die von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} erzeugte C^*-Algebra und die von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ${\displaystyle \{0\}}${\displaystyle \{0\}} ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in ${\displaystyle A=W_{1}+i,円W_{2}}${\displaystyle A=W_{1}+i,円W_{2}} mit dem „Realteil" ${\displaystyle W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })}${\displaystyle W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })} und dem „Imaginärteil" ${\displaystyle W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).}${\displaystyle W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).} Dabei sind die Operatoren ${\displaystyle W_{i}}${\displaystyle W_{i}} selbstadjungiert. ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist genau dann normal, wenn ${\displaystyle W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}}${\displaystyle W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}}.

Ein Operator ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} heißt

• quasinormal, falls ${\displaystyle A,円\!}${\displaystyle A,円\!} mit ${\displaystyle A^{\ast }A}${\displaystyle A^{\ast }A} vertauscht, das heißt ${\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA}${\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA}.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} gibt, so dass ${\displaystyle X}${\displaystyle X} Unterraum von ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} ist, und einen normalen Operator ${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)}${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)}, so dass ${\displaystyle B(X)\subset X}${\displaystyle B(X)\subset X} und ${\displaystyle A=B|_{X}}${\displaystyle A=B|_{X}}.
• hyponormal, falls ${\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|}${\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}.
• paranormal, falls ${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|}${\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: ${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}}${\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}}.

Es gelten folgende Implikationen:

normal ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } quasinormal ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } subnormal ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } hyponormal ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } paranormal ${\displaystyle \Rightarrow }${\displaystyle \Rightarrow } normaloid.

Ein unbeschränkter Operator ${\displaystyle A:D(A)\subseteq X\to X}${\displaystyle A:D(A)\subseteq X\to X} mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} heißt normal falls

${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })}${\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })}

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt ${\displaystyle A^{\ast }=A}${\displaystyle A^{\ast }=A}.

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)

• Funktionalanalysis