Stokes-Automorphismus

Der Stokes-Automorphismus ist ein Begriff aus der Écalle-Theorie (Theorie der resurgenten Funktionen) und der asymptotischen Analysis. Der Automorphismus stellt einen Zusammenhang zwischen zwei gerichteten Borel-Resummierungen bzw. Borel-Laplace-Transformationen dar, welche durch eine Stokes-Linie getrennt werden.

Bei asymptotischen Entwicklungen von komplex-wertigen Funktionen spielt das Argument eine zentrale Rolle und so können unterschiedliche asymptotische Entwicklungen für dieselbe Funktion auftreten. Das klassische Beispiel ist die Airy-Funktion. Die verschiedenen Regionen werden durch die Stokes- und Anti-Stokes-Linien getrennt. Bildet man nun Resummierungen, das heißt Borel-Summierungen mit Laplace-Transformationen, können diese durch Stokes-Linien getrennt sein.

Der Stokes-Automorphismus ist nach Sir George Gabriel Stokes benannt.

Mit ${\displaystyle {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}}${\displaystyle {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}} bezeichnen wir den Raum der simplen ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }-resurgenten Reihen d. h. Potenzreihen, deren formale Borel-Transformation simple ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }-resurgente Funktionen sind. Die nachfolgende Definition wird für Elemente aus ${\displaystyle {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}}${\displaystyle {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}} definiert, kann aber auf den Raum der resurgenten Funktionen ${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus {\widetilde {\mathcal {H}}}({\mathcal {R}})}${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus {\widetilde {\mathcal {H}}}({\mathcal {R}})} erweitert werden.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(z)\in {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}}${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(z)\in {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}}, dann ist die laterale Borel-Summierung entlang ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty +i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty +i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )}

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty -i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}{\widetilde {\phi }}(z)=c+\int _{0}^{e^{i\theta }(\infty -i\varepsilon )}\mathrm {d} \zeta e^{-z\theta }{\widehat {\phi }}(\zeta )}

wobei ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }${\displaystyle c\in \mathbb {C} } und ${\displaystyle {\widehat {\phi }}(\zeta )}${\displaystyle {\widehat {\phi }}(\zeta )} die Borel-Transformation von ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}${\displaystyle {\widetilde {\phi }}} bezeichnet.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{\pm }}}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{\pm }}} die laterale Borel-Summierung, dann ist der Stokes-Automorphismus ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\theta }:{\widetilde {\text{Res}}}^{simp}\to {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}}${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\theta }:{\widetilde {\text{Res}}}^{simp}\to {\widetilde {\text{Res}}}^{simp}} definiert als ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}={\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}\circ {\mathfrak {S}}_{\theta }}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\theta ^{+}}={\mathcal {S}}_{\theta ^{-}}\circ {\mathfrak {S}}_{\theta }}.^[1]

• Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch). 

1. ↑ Daniele Dorigoni: An introduction to resurgence, trans-series and alien calculus. In: Elsevier BV (Hrsg.): Annals of Physics, vol 409. 2019, doi:10.1016/j.aop.2019.167914 , arxiv:1411.3585. 

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