Stichproben-Regressionsfunktion

In der Statistik entspricht eine Stichproben-Regressionsfunktion (englisch sample regression function, kurz: SRF), auch empirische Regressionsfunktion, der geschätzten Version der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit. Die Stichproben-Regressionsfunktion ist fix, aber in der Grundgesamtheit unbekannt. Handelt es sich bei der Regressionsfunktion um eine Gerade, dann ist auch von einer Stichproben-Regressionsgerade oder empirischen Regressionsgerade die Rede. Die Stichproben-Regressionsgerade wird als Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade (kurz: KQ-Regressionsgerade) aus Beobachtungspaaren gewonnen, die Datenpunkte repräsentieren. Sie stellt laut dem Kleinste-Quadrate-Kriterium die bestmögliche Anpassung an die Daten dar.

Wenn man mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=SP_{xy}/SQ_{x}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=SP_{xy}/SQ_{x}} und den Kleinste-Quadrate-Schätzer für das Absolutglied ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}} ermittelt, dann erhält man die folgende KQ-Regressionsgerade:

${\displaystyle {\hat {y}}={\widehat {\operatorname {E} (y\mid X=x)}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x\quad }${\displaystyle {\hat {y}}={\widehat {\operatorname {E} (y\mid X=x)}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x\quad }.

Diese wird auch Stichproben-Regressionsfunktion genannt, da sie eine geschätzte Variante der (theoretischen) Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

${\displaystyle \operatorname {E} (y\mid X=x)=\beta _{0}+\beta _{1}x\quad }${\displaystyle \operatorname {E} (y\mid X=x)=\beta _{0}+\beta _{1}x\quad }

darstellt.^[1] Die Parameter ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}} und ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}} werden auch empirische Regressionskoeffizienten genannt.^[2] Da die Stichproben-Regressionsfunktion durch eine gegebene Stichprobe gewonnen wird, liefert eine neue Stichprobe einen neuen Anstieg ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}} und ein neues Absolutglied ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}. In den meisten Fällen kann man den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung darstellen als

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=\Delta {\hat {y}}/\Delta x}${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=\Delta {\hat {y}}/\Delta x}

Durch diese Darstellung kann man erkennen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung wiedergibt, wie stark sich die Zielgröße ${\displaystyle y}${\displaystyle y} verändert, wenn sich die Einflussgröße ${\displaystyle x}${\displaystyle x} um eine Einheit erhöht.^[3]

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}, mit ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} dem ${\displaystyle p\times 1}${\displaystyle p\times 1} Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der ${\displaystyle n\times p}${\displaystyle n\times p} Versuchsplanmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }${\displaystyle \mathbf {X} }, dem ${\displaystyle n\times 1}${\displaystyle n\times 1} Vektor der abhängigen Variablen ${\displaystyle \mathbf {y} }${\displaystyle \mathbf {y} } und dem ${\displaystyle n\times 1}${\displaystyle n\times 1} Vektor der Störgrößen ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}. Dann ist die KQ-Stichproben-Regressionsfunktion bzw. Stichproben-Regressionshyperebene ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} gegeben durch

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\underbrace {\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} _{=\mathbf {P} }\mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {y} }${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\underbrace {\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} _{=\mathbf {P} }\mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {y} },

wobei ${\displaystyle \mathbf {P} }${\displaystyle \mathbf {P} } die Prädiktionsmatrix darstellt.

• Springer Gabler Verlag, Gabler Wirtschaftslexikon, Stichwort: Stichproben-Regressionsgerade

1. ↑ Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.
2. ↑ Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 185.
3. ↑ Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.

• Methode der kleinsten Quadrate
• Regressionsanalyse
• Schätztheorie
• Statistischer Grundbegriff